5. Элементы теории управления

Динамической системой называют систему, обладающую инерцией. Движение динамической системы описывается дифференциальными уравнениями ее движения. Эти уравнения могут быть линейными или нелинейными, обыкновенными или с частными производными, с постоянными или с меняющимися во времени (переменными) параметрами. Предметом исследования в классической части теории управления являются линейные динамические системы с постоянными параметрами. Движение таких систем описывается обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. С помощью преобразования Лапласа этим уравнениям могут быть поставлены в соответствие передаточные функции системы, связывающие определенные вход и выход системы.

Описание динамической системы с помощью дифференциального уравнения ее движения или с помощью передаточной функции называют параметрической моделью системы.

Динамическая система проявляет свои свойства в движении. Движение системы происходит в результате ненулевых начальных условий движения системы и (или) под действием входных (управляющих или возмущающих) воздействий на систему.

Для конкретной динамической системы начальные условия ее движения и возмущения могут быть произвольными. Поэтому для изучения свойств динамических систем принято использовать характеристики системы, являющиеся реакциями (выходами) системы на некоторые типовые тестовые сигналы, подаваемые на вход системы. Такие характеристики принято называть непараметрическими моделями динамической системы.

Использование типовых входных сигналов позволяет проектировщику сравнивать различные варианты создаваемой системы по их реакциям системы на типовые сигналы и выбирать среди них лучший, дающий лучшие реакции на типовые сигналы. К тому же, многие системы управления в процессе эксплуатации подвергаются внешним воздействиям, которые по виду очень близки к типовым сигналам.

Реакции системы на типовые тестовые сигналы могут рассматриваться в переходном или установившемся режимах. Реакция системы на входное воздействие в переходном режиме показывает, как эта реакция развивается во времени. Поэтому такие характеристики называют динамическими характеристиками системы.

Если входной сигнал системы – постоянный, или гармонический, а система – с постоянными параметрами и устойчивая, то со временем реакция системы на входное воздействие устанавливается, т.е. выход системы становится постоянным, или также гармоническим, соответствующим величине входного воздействия и зависящим от свойств системы. Соотношение между выходом и входом динамической системы в установившемся режиме при изменении входа во всем рабочем диапазоне его возможных значений называют статической характеристикой динамической системы.

В качестве типовых тестовых сигналов обычно рассматривают: ступенчатый сигнал, единичная импульсная функция, гармонический сигнал и другие.

Реакция системы на ступенчатый входной сигнал называют переходной функцией, или переходным процессом. Переходная функция описывает процесс на выходе системы, возникающий при подаче на вход системы скачкообразного воздействия при заданной величине скачка.

Если величина скачка равна единице, то такое входное воздей­ствие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается u_вх (t) = 1(t), что соответствует u_вх = 0 при t < 0 и u_вх = 1 при t > 0 (рис. 5.1). В Simulink ступенчатую функцию имитирует блок Step.

t

1

0

Рис. 5.1. Единичная ступенчатая функция

Единичная импульсная функция или дельта-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции: . Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности. При этом площадь дельта-функции равна 1. Реакцию системы на единичную импульсную функцию называют импульсной переходной (или весовой) функцией системы.

t

0

Рис. 5.2. Единичная импульсная функция

Частотная характеристика определяется как реакция линейной динамической системы в установив­шемся режиме на гармонический входной сигнал при изменении частоты входного сигнала во всем возможном диапазоне: .

Как показано в теории управления, в линейной динамической системе выходной сигнал системы в установившемся режиме при подаче на вход гармонического сигнала также является гармоническим и на той же частоте, т.е. . Различие входного и выходного сигналов заключается только в амплитуде и фазе этих сигналов.

Зависимость отношения амплитуд выходного и входного гармонических сигналов , а также фазового сдвига выходного гармонического сигнала по отношению к входному , от частоты входного сигнала, при изменении этой частоты в бесконечных пределах, называется амплитудной и фазовой частотными характеристиками линейной динамической системы.

Эти две характеристики можно представить на одной (комплексной) плоскости в виде амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФХ) системы (рис. 5.3). АФХ представляет собой геометрическое место концов векторов (го­дограф), длина которых равна амплитудной характеристике системы на заданной частоте, а угловое положение этого вектора по отношению к оси ординат – фазовому сдвигу на этой же частоте. Таким образом, каждой частоте входного гармонического сигнала соответствует точка на комплексной плоскости. Кривая, соединяющая такие точки при изменении частоты в бесконечных пределах, и есть АФХ системы.

Рис. 5.3. К определению АФХ системы

Построение АЧХ и ФЧХ существенно упрощается при использовании логарифмической оси абсцисс. Результатом такого построения являются логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики системы (ЛАЧХ и ЛФЧХ).

По логарифмическим амплитудной и фазовой частотным характеристикам разомкнутой системы на основе критерия Найквиста можно сделать вывод о устойчивости или неустойчивости замкнутой системы.