29)Сформулировтаь теорему о существовании для самосопряженного оператора ортонормированного базиса,в котором его матрица имеет простой вид

Для любого самосопряженного оператора A существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора A. Матрица A линейного оператора A в этом базисе имеет диагональный вид, на диагонали расположены собственные значения оператора A, повторяющиеся столько раз, какова их кратность.

30)Сформулировать теорему о собственных векторах самосопряженного оператора,соответствующих различным собственным значениям

Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

31)Описать алгоритм приведения матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду

Теорема. Матрица самосопряженного оператора в собственном базисе имеет диагональную форму. Ясно, что для того чтобы привести матрицу самосопряженного оператор к диагональному виду нужно найти собственные значения оператора и диагональную матрицу, на диагонали которой расположены собственные значения матрицы. Если нужно записать выражение для приведения матрицы к этой диагональной форме, то нужно еще найти собственные векторы матрицы, записать матрицу C перехода к собственному базису (матрицу, столбцами которой являются координаты собственных векторов оператора), найти обратную к ней матрицу С-1 и тогда — равенство, связывающее диагональну форму матрицы оператора в собственном базисе с матрицей A оператора в заданном базисе.

• записываем матрицу оператора   в исходном базисе;

• записываем характеристическое уравнение и вычисляем его корни;

• находим собственный базис оператора (если он существует);

• записываем матрицу  , столбцами которой являются координаты собственных векторов (векторов собственного базиса);

• по формуле   находим диагональную форму матриц оператора — матрицу оператора в собственном базисе.

32)Сформулировать утверждение о матрице перехода от одного ортонормированного базиса к другому

Матрица   перехода   от   одного   ортонормированного   базиса   к   другому   ортонормированному  базису  — ортогональная.

Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица , столбец которой есть столбец координат вектора в базисе . Если – произвольный вектор из , и – столбцы его координат в базисах и соответственно, то имеет место равенство (формула преобразования координат при преобразовании базиса).

33)Дать определение ортогональной матрицы

Квадратную матрицу называют ортогональной, если она удовлетворяет условию , где – единичная матрица.

34)Сформулировать свойства ортогональной матрицы

1. Определитель ортогональной матрицы может иметь одно из двух возможных значений:

2. Матрица, обратная к ортогональной матрице , совпадает с ее транспонированной матрицей, т.е. .

3. Произведение ортогональной матрицы на транспонированную к ней равно единичной матрице, т.е. .

4. Матрица, транспонированная к ортогональной матрице, тоже является ортогональной.

5. Произведение двух ортогональных матриц и одного порядка является ортогональной матрицей.

6. Матрица, обратная к ортогональной матрице, тоже является ортогональной.

— ортогональная.

Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица , столбец которой есть столбец координат вектора в базисе . Если – произвольный вектор из , и – столбцы его координат в базисах и соответственно, то имеет место равенство (формула преобразования координат при преобразовании базиса).