Лабораторна робота № 5. Циклічні програми (цикл for). Бінарні відносини

Дана лабораторна робота призначена для вивчення оператора циклу FOR на прикладі роботи з бінарними відносинами.

Докладні відомості по даних темах містяться: - в розділі "Мова програмування GAP" <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\3-data.htm> даної методичної допомоги (див. п.2.13); - в розділі "Бінарні стосунки в GAP" <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\tppmsgs\msgs0.htm> учбових матеріалів до курсу алгебри і теорії чисел; - в розділі "Relations" довідкового керівництва за системою GAP <file:///d:\ Комп'ютерна%20алгебра\metgap43\tppmsgs\msgs0.htm>.

Приклад: Розробити функцію, вхідним параметром якої є бінарне відношення r, задане на множині з n елементів, а вихідним - квадратна матриця M порядку n, в якій mij=1, якщо i r j, і mij=0 інакше (таким чином, M - матриця смежностей орієнтованого графа, відповідного бінарному відношенню r).

Дане завдання вирішується таким чином. Спочатку ми визначаємо порядок безлічі N, на якій задано бінарне відношення r, і будуємо нульову матрицю m відповідного розміру за допомогою функції Nullmat. Потім за допомогою функції Successors ми отримуємо список s, i-й елемент якого є списком номерів тих елементів безліч N, яка знаходиться в бінарному відношенні r з i-м елементом. Для заміни потрібних елементів нульової матриці одиницями ми перебираємо елементи отриманого списку s. При цьому i-й елемент списку s визначає, які елементи i-й рядка матриці m мають дорівнювати одиниці - на одиницю замінюються ті елементи i-й рядка матриці m, які лежать в стовпцях з номерами із списку s[i]:

Matrixofbinaryrelation:=function(r) local s, n, m, i, j; n := Degreeofbinaryrelation( r ); m := Nullmat( n, n ); s := Successors( r ); for i in [ 1 .. Length(s)] do for j in s[i] do m[i][j]:=1; od; od; return m; end; Звернете увагу на форматування програми (виділення циклів за допомогою відступів), а також на те, що перебирати можна не тільки числа із заданого діапазону (як в зовнішньому циклі), але і всі елементи із заданого списку (як у внутрішньому циклі).

Після введення даної програми задамо випадковим чином бінарне відношення на множині з п'яти елементів: gap> r:=randombinaryrelationonpoints(5); Binary Relation on 5 points

Отримаємо його опис за допомогою функції Successors:

gap> Successors(r); [ [ 1, 2, 4 ], [ 1, 3, 4, 5 ], [ 3, 5 ], [ 2, 4, 5 ], [ 2, 3, 4 ] ]

Тепер обчислимо його матрицю суміжності і переконаємося в правильності отриманого результату, зіставивши номери рядків і стовпців, в яких знаходяться одиниці, з результатом Successors(r):

gap> Display( Matrixofbinaryrelation( r )); [ [ 1, 1, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 1, 1, 1 ], [ 0, 0, 1, 0, 1 ], [ 0, 1, 0, 1, 1 ], [ 0, 1, 1, 1, 0 ] ]

Обчислимо матрицю суміжності для мінімального симетричного бінарного відношення, що містить задане, і переконаємося в її симетричності щодо головної діагоналі: gap> Display( Matrixofbinaryrelation( Symmetricclosurebinaryrelation( r ))); [ [ 1, 1, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 1, 1, 1 ], [ 0, 1, 1, 0, 1 ], [ 1, 1, 0, 1, 1 ], [ 0, 1, 1, 1, 0 ] ]

Обчислимо матрицю суміжності для мінімального симетричного бінарного відношення, що містить задане, і переконаємося в тому, що всі елементи на її головній діагоналі дорівнюють одиниці: gap> Display( Matrixofbinaryrelation( Reflexiveclosurebinaryrelation( r ))); [ [ 1, 1, 0, 1, 0 ], [ 1, 1, 1, 1, 1 ], [ 0, 0, 1, 0, 1 ], [ 0, 1, 0, 1, 1 ], [ 0, 1, 1, 1, 1 ] ]

Тепер перевіримо, що матриця відношення тотожності є одиничною: gap> Display( Matrixofbinaryrelation( Identitybinaryrelation( 5 ))); [ [ 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1 ] ]

Таким чином, розроблена функція працює коректно. Завдання для лабораторної роботи № 5

Варіант 1. Розробити функцію, яка для заданого бінарного відношення повертає бінарне відношення, що є його запереченням.

Варіант 2. Розробити функцію, яка для двох заданих бінарних стосунків повертає бінарне відношення, що є їх перетином.

Варіант 3. Розробити функцію, яка для двох заданих бінарних стосунків повертає бінарне відношення, що є їх об'єднанням.

Варіант 4. Розробити функцію, яка для двох заданих бінарних стосунків повертає бінарне відношення, що є різницею першого і другого стосунків.

Варіант 5. Розробити функцію, яка для двох заданих бінарних стосунків повертає бінарне відношення, що є композицією першого і другого стосунків.

Варіант 6. Розробити функцію, яка для заданого бінарного відношення повертає зворотне до нього бінарне відношення.

Варіант 7. Розробити функцію, яка для двох заданих бінарних стосунків перевіряє, чи є перше з них підмножиною другого.

Варіант 8. Розробити функцію, яка повертає бінарне відношення, відповідне заданому розбиттю безлічі перших n натуральних чисел. Варіант 9. Розробити функцію, яка повертає список всіх впорядкованих пар, що належать заданому бінарному відношенню.

Варіант 10. Розробити функцію, яка для заданого бінарного відношення r повертає список елементів x, для яких виконується умова x r x.

Варіант 11. Розробити функцію, яка для заданого бінарного відношення r повертає список всіх впорядкованих пар елементів (x,y), для яких одночасно виконуються умови x r у і у r x.

Варіант 12. Розробити функцію, яка для заданого бінарного відношення r повертає список всіх впорядкованих пар елементів (x,y), таких що яких виконується умова x r у, але не виконується умова у r x. Варіант 13. Розробити функцію, яка для заданого бінарного відношення r повертає список всіх впорядкованих пар елементів (x,y), таких що яких виконується умова x r у, і елементи x і у не збігаються.

Варіант 14. Розробити функцію, яка для заданого бінарного відношення визначає мінімальний набір впорядкованих пар, які потрібно виключити з бінарного відношення для того, щоб воно стало антирефлексивним.

Варіант 15. Розробити функцію, яка для заданого бінарного відношення визначає мінімальний набір впорядкованих пар, які потрібно виключити з бінарного відношення для того, щоб воно стало асиметричним.

Варіант 16. Розробити функцію, яка для заданого бінарного відношення визначає мінімальний набір впорядкованих пар, які потрібно виключити з бінарного відношення для того, щоб воно стало антисиметричним.

Варіант 17. Розробити функцію, яка повертає область визначення заданого бінарного відношення.

Варіант 18. Розробити функцію, яка повертає область значення заданого бінарного відношення.