14. Свойства дисперсии

1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится. 2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.

13.

1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n - частота (повторяемость фактора Х)

12.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается   в русской литературе и   (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение   или  . Квадратный корень из дисперсии, равный  , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

11.

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.^[1] В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через   (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской —   (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение  .

Простейшие свойства математического ожидания

• Математическое ожидание числа есть само число.

 — константа;

• Математическое ожидание линейно, то есть

,

где   — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а   — произвольные константы;

• Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если   почти наверное, и   — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины   также конечно, и более того

;

• Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если   почти наверное, то

.

• Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин   равно произведению их математических ожиданий

.

10.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть   — борелевская функция, такая что случайная величина   имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

,

если   имеет дискретное распределение;

,

если   имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение   случайной величины   общего вида, то

.

В специальном случае, когда  , Математическое ожидание   называется  -тым моментом случайной величины.

9.

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ [ distribution of discrete random variable ]

     Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень всех возможных ее значений и ихвероятностей.       Обычно закон распределения задается в виде таблицы, одна графа которой содержит все возможные значения случайной величины, а вторая - соответствующие им вероятности:  X :  x₁, x₂ ,..., x_n;  P :  p₁, p₂ ,..., p_n. Представление закона распределения возможно также в виде формулы, посредством параметров или в виде графика.

8.

Генеральная дисперсия.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику — генеральную дисперсию.

  Генеральной дисперсией D_г называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Если все значения признака генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения признака имеют соответственно частоты N₁, N₂, …, N_k, где N₁ +N₂+…+N_k= N, то

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния зна­чений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой— средним квадратическим отклонением.

7.

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.