18.5. Постановка краевых задач для уравнения параболического типа

Поставить краевую задачу, соответствующую данной физической задаче – это значит выбрать функцию, характеризующую физический процесс и затем:

а) записать дифференциальное уравнение для этой функции;

б) установить для нее граничные условия;

в) сформулировать начальные условия.

Уравнения и граничные условия краевых задач, например, теории теплопроводности, являются следствием:

1) закона сохранения энергии;

2) закона внутренней теплопроводности в твердых телах (закона Фурье), который в одномерном случае выражается следующим образом:

,

где q – количество тепла, протекающего в единицу времени в направлении оси x через единицу площади;

u – температура в рассматриваемом месте тела;

λ – коэффициент теплопроводности, который зависит от физических свойств тела и от температуры u; но при решении данных задач зависимостью λ от температуры пренебрегаем.

3) закона конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела и окружающей его газообразной или жидкой средой (закон Ньютона), который выражается формулой

,

где q – количество тепла, протекающего в единицу времени через единицу площади поверхности тела в окружающую среду;

– коэффициент теплоотдачи;

u – температура поверхности тела;

θ – температура окружающей среды.

Рассмотрим подробнее, как записываются граничные условия. Они различаются в зависимости от температурного режима на границах рассматриваемой области. Обычно рассматривают три основных типа граничных условий (ограничимся одномерным случаем):

I. Задается температура на поверхности тела. Например, на конце стержня (при x = 0) задана температура

. (18.7)

II. Задается поток тепла через поверхности тела (в случае теплоизолированного с боковой поверхности стержня – величина теплового потока, протекающего через торцевое сечение стержня). Например, на концах

, (18.8)

где – известная функция, выражающаяся через заданный тепловой поток и коэффициент теплопроводности по формуле

.

Если какой либо конец стержня теплоизолирован, то граничное условие примет вид

. (18.9)

III. На поверхности тела происходит теплообмен со средой, имеющей температуру , по закону Ньютона (согласно которому поток тепла через единицу поверхности в единицу времени пропорционален разности температур тела и окружающей среды). Математическая формулировка третьего граничного условия (на конце стержня ) имеет вид:

, (18.10)

где – коэффициент теплоотдачи.

Условия (18.7) – (18.9) также можно рассматривать как частный случай общих условий (18.4).

Поток тепла считается положительным, если тепло уходит из стержня в окружающую среду (u > θ), и отрицательным – в противоположном случае.

Согласно закону сохранения энергии количество уходящего тепла должно быть равно потоку тепла, проходящего через рассматриваемое торцевое сечение в силу теплопроводности стержня.

Пусть начало стержня совпадает с началом координат (x = 0), а конец его имеет абсциссу . Тепловой поток, проходящий через поперечное сечение стержня в направлении оси 0x, равен . На правом конце стержня направление потока, поступающего во внешнюю среду, совпадает с направлением оси 0x, а поток равен . На левом конце эти направления противоположны и поэтому тепловой поток равен . Будем считать, что внешние среды на концах стержня разные, поэтому могут быть различными и θ. Пусть на правом конце , , а на левом , . В этом случае граничные условия на торцевых сечениях можно записать в следующем виде

,

(18.11)

,

где , – заданные температуры внешней среды, которые являются известными функциями от времени t.

Граничные условия на концах стержня (при x = 0 и ) могут быть различных типов.

Кроме описанных выше линейных краевых задач, существуют также задачи с нелинейными граничными условиями, например

.

Это граничное условие соответствует излучению по закону Стефана – Больцмана в среду с температурой с торца .

Рассмотрим более подробно, например, задачу (с граничными условиями первого рода) для ограниченной области (стержня длиной ). Задача состоит в отыскании решения дифференциального уравнения теплопроводности

при 0 < x < , 0 < t T,

удовлетворяющего начальному и граничному условиям

, 0 ≤ x ≤ ,

, , 0 ≤ t T,

где , , – заданные функции.

Аналогично ставятся другие задачи с различными комбинациями граничных условий.