Описание метода Гаусса для вырожденных систем.

Хочется еще раз подчеркнуть, что метод Гаусса приспособлен и для решения вырожденных систем. Отличия при этом невелики. Приведение системы происходит описанным выше методом, но не обязательно к верхнетреугольному виду, а к более общему -ступенчатому. Если на каком-то шаге прямого хода встречается ситуация, когда в столбце не только разрешающий элемент, но и все элементы ниже него равны нулю (переменная как-бы исключилась сама по себе), то мы просто начинаем из этого же уравнения исключать сразу следующую переменную, т.е. переходим к следующему столбцу, не переходя к следующей строке. После окончания прямого хода возможны два варианта:

• либо мы видим, что полученная система несовместна, когда в одной из последних ненулевых строк все коэффициенты левой части равны 0, а свободный член – нет

• либо система имеет бесконечное множество решений, которые можно получать следующим общим способом – задать произвольные значения всем «свободным» переменным, которые были пропущены в процессе исключения, т.е. «исключились сами по себе» и вычислить значения всех остальных переменных по формулам обратного хода.

Применения метода Гаусса.

Метод Гаусса является одним из эффективных методов решения различных задач линейной алгебры.

Нахождение определителя матрицы.

Исходную матрицу приводят к верхнетреугольному виду методом Гаусса, следя при перестановке строк за сменой знака определителя. После приведения определитель будет равен произведению элементов главной диагонали.

Нахождение обратной матрицы

Пусть А' - обратная матрица, т.е. А*А'=Е. Для того, чтобы найти обратную матрицу, каждый столбец матрицы А' обозначим как неизвестный вектор Х(1),Х(2),….Тогда для решения матричного уравнения А(Х(1)Х(2)...)=Е можно N раз решить систему линейных уравнений методом Гаусса с неизвестным вектором Х(i) и правым столбцом – одним из столбцов единичной матрицы.

Второй метод нахождения обратной матрицы: выпишем матрицу (А|Е), в которой n строчек и 2n столбцов. Проделав прямой ход, получим (\ # # | )

(0 \ # | A`)

(0 0 \ | ),

где А` - промежуточная матрица (\ # #)

Обратный ход заключается в том, что матрицу (0 \ #) приводят

к единичной (0 0 \)

В результате получим матрицу ( Е|А').

Нахождение ранга матрицы.

При решении задачи нахождения ранга матрицы одним из самых эффективных методов также является применение общего метода Гаусса. Матрицу приводят описанным выше способом к ступенчатому виду, а затем просто подсчитывают количество ненулевых строк.

Определение совместности системы.

Поскольку совместность системы означает совпадение рангов матрицы А исходной системы и расширенной матрицы (А|B), то проще всего поступить аналогично предыдущему пункту. Берем расширенную матрицу и приводим к ступенчатому виду. Если есть строки с нулевой левой частью и ненулевым свободным членом, то система несовместна, если нет – совместна.

4. Оценка интегралов

При численном интегрировании наряду с приближёнными формулами представляет также интерес нахождение нижних и верхних границ интегралов. Рассмотрим два метода оценки интегралов:

а) оценка интеграла в случае, когда подинтегральная функция , удовлетворяет условию:

для (28)

б) общий случай.

Рассмотрим интеграл:

(29)

где , . Не умоляя общность, будем считать, что , , тогда (Рис. 1) ясно, что

К Е

N

М

0

Рис. 1

0

Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями aMNb и aKEb, т.е.

(30)

Очевидно, что

(31)

(32)

Таким образом, для оценки интеграла в случае , имеем:

(33)

если же , неравенство (33) заменяется на обратное.

б) Другой принцип грубой, но зато общей оценки значения интеграла, основан на «монотонности» интеграла. При этом способе подынтегральную функцию приближают снизу и сверху интегрируемыми в замкнутом виде функциями и , т.е.

, (34)

Тогда

(35)