Зміст лабораторних робіт

Тиждень	Номер лабора­торної роботи	Назва лабораторної роботи	Обсяг годин
1, 2, 3	1	Симетрія кристалів та їх визначення	6
4, 5, 6	2	Прості форми і комбінації та їх визначення	6
7, 8	3	Морфологія мінеральних індивідів і мінеральних агрегатів та їх визначення	4
9, 10	4	Фізичні властивості мінералів та їх визначення	2
11-17	5	Класифікація та основні ознаки мінералів	2
	6	Визначення мінералів типу простих речовин та типу сульфідів
	7	Визначення мінералів типу оксидів і гідрооксидів	2
	8	Визначення мінералів типу солей кисневих кислот	6
	9	Визначення мінералів типу галоїдів	2
18	10	Методи визначення мінералів в польових та лабораторних умовах	2
		Всього	36

Лабораторна робота № 1 Симетрія кристалів та їх визначення

Мета: засвоїти основні закони кристалографії для визначення симетрії кристалів та їх місця в класифікації симетрії.

Завдання:

1. Вивчити основні закони кристалографії;

2. Опанувати основні методи визначення симетрії кристалів та теорем виводу 32 видів симетрії;

3. Згідно з варіантом № визначити основні кристалографічні параметри моделей кристалів і встановити їх місце в класифікації симетрії.

1 Основні теоретичні положення

В природних умовах внаслідок різноманітних геологічних процесів формуються мінерали у вигляді твердих, рідинних та газоподібних тіл. При цьому більшість мінералів в земній корі знаходяться у твердому стані. Газоподібні та рідинні мінерали зустрічаються значно рідше, за винятком води, яка за об’ємом займає значну частину поверхні земної кулі.

1.1 За своєю внутрішньою будовою серед твердих мінералів виділяють кристалічні та аморфні.

До кристалічних належать мінерали, в яких фізичні властивості в різних напрямках різні, але однакові в паралельних. Це такі властивості, як твердість, швидкість поширення тепла і світла та інші. Кристалічність твердих мінералів чітко проявляється в умовах їх вільного росту, в результаті якого утворюються геометричні тіла, огранені різноманітними за формою і розміром гранями. Такі багатогранники називають кристалами.

До аморфних належать мінеральні тіла, фізичні властивості яких у всіх напрямах однакові. Аморфність твердих мінералів чітко проявляється в процесі їх росту – вони ростуть в усі сторони з однаковою швидкістю, в результаті чого в кінцевому підсумку (в ідеальних умовах) утворюють кулеподібне тіло. Такі елементи огранення, як грані, ребра, вершини в них, відсутні.

Головним визначальним фактором кристалічності мінералів є їх внутрішня будова, тобто характер розміщення атомів, іонів або молекул в просторі. Так, для кристалічних мінералів характерною особливістю є те, що атоми, іони або молекули, які їх складають, розміщені строго закономірно, тобто утворюють певні типи структур, в яких відстані між окремими структурними вузлами в різних напрямах постійні на відміну від аморфних, в яких подібні структури відсутні, і відстані між атомами, іонами або молекулами можуть бути різноманітними (рис. 1.1) [1].

Р исунок 1.1-Характер розміщення іонів [SO₄]^4- в кристалічному кварці (а) і аморфному кварцовому склі (б); проекція на площину

Закономірне розміщення атомів, іонів або молекул в кристалічних мінералах веде до того, що вони, з’єднуючись у певному порядку, утворюють так звану просторову гратку (структуру), яка складається з окремих паралелепіпедів, в вершинах або інших частинах яких розміщуються структурні вузли, які заповнені атомами, іонами або молекулами (рис. 1.2).

Рисунок 1.2 - Кристалічна структура кам’яної солі, складена іонами Na⁺ і Cl^-

Кожна така просторова структура складається з просторових вузлів, просторових рядів та плоских сіток, які, з’єднуючись між собою, утворюють так звані елементарні комірки Браве, котрі повністю заповнюють простір структури. Головними елементами просторової комірки є  просторовий вузол, просторовий ряд, плоска сітка.

Просторовий вузол – точка у вершині або іншому місці елементарного паралелепіпеду, що заповнюється атомами, іонами або молекулами (рис. 1.3).

Рисунок 1.3 - Елементи кристалічної структури: а - елементарні вузли (Na⁺, Cl^-); б – просторовий ряд, утворений двома видами вузлів; в – просторовий ряд, утворений одним видом вузлів

Просторовий ряд – сукупність однозначних або рівнозначних кутів, які розміщені вздовж прямої і повторюються через рівні проміжки. Відповідно кількість просторових рядів в просторовій гратці дуже велика (рис. 1.3 б, в).

Плоска сітка – система просторових вузлів, розміщених в одній площині на певних відстанях один від одного в двох напрямках. Кількість просторових вузлів, що припадає на одиницю площі плоскої сітки, має назву ретикулярної густини.

Елементарна комірка – сукупність просторових вузлів, розміщених у вершинах паралелепіпеду (рис. 1.4). Кількість елементарних комірок у просторовій структурі як у безкінечному дисконтинумі практично безмежна і визначається у кінцевому результаті розмірами реального кристалу. Як бачимо з рис. 1.4, кожна елементарна комірка характеризується двома типами параметрів: лінійними і кутовими.

Рисунок 1.4 - Елементарна просторова комірка, її параметричні величини – лінії (a, b, c) і кутові (α, β, γ).

Кутові параметри (α, β, γ) - кути нахилу просторових рядів, які співпадають з осями координат x, y, z (рис. 1.4). Теоретично вони можуть коливатися в межах від > 0⁰ до < 180⁰.

Лінійні параметри (a, b, c) - відстані між найближчими просторовими вузлами елементарної комірки по трьох осях координат x, y, z. Ці відстані в трьох напрямах можуть бути однаковими або різними. Вони вимірюються в ангстремах або нанометрах.

На кутових параметрах α, β, γ базується один із фундаментальних законів геометричної кристалографії – закон сталості двогранних кутів, або закон Стенона-Гоме-де-Ліля-Ломоносова [2].

1.2 Для кристалічних багатогранників мінералів характерною особливістю є їх геометрична форма, яка характеризується розвитком відповідних граней, ребер і вершин.

Грані в ідеальному вигляді являють собою рівні площини різноманітних форм і розмірів та відповідають просторовим сіткам просторової гратки (рис. 1.5, а, б). Виходячи з того, що плоска сітка має двомірний розвиток у просторі, а атоми, іони чи молекули, що її складають, лежать в одній математичній площині, і був сформульований один із законів геометричної кристалографії – закон плоскогранності: „Грань відповідає плоскій сітці реального кристалу і являє собою ідеально рівну дзеркальну поверхню” [3].

Встановлено, що максимальний розвиток на кристалах властивий тим граням, ретикулярна густина яких найбільша.

Рисунок 1.5 - Взаємозв’язок між: а - елементами огранювання кристалу (вершини, ребра, грані) і б - елементи просторової гратки (вузли, просторові ряди, плоскі сітки).

Ребра в ідеальному вигляді являють собою прямі лінії, які утворюються на перетині двох граней і на мікрорівні відповідають просторовим рядам просторових граток (рис. 1.5, а). Кількість ребер та їх величина знаходяться у прямій залежності від внутрішньої будови кристалу.

Вершини – місце перетину ребер кристалу. Вони відповідають просторовим вузлам (рис. 1.5, б).

Між гранями, ребрами та вершинами існує певна кількісна взаємозалежність, відома під назвою закону Ейлера-Декарта, що має такий вираз [2]

∑граней + ∑вершин = ∑ребер + 2

При вивченні елементів огранення кристалів, а саме реальних, рекомендується подумки доповнити відсутні або продовжити слабо розвинені грані або ребра, провести їх підрахунок і встановити між ними відповідний зв’язок згідно з законом Ейлера-Декарта [4].

У зв’язку з тим, що плоскі сітки просторової гратки розміщені одна відносно одної під певними кутами, грані кристалів, які відповідають цим сіткам також знаходяться під такими ж кутами. На цій фундаментальній властивості кристалічної речовини базується закон постійності двогранних кутів: ”При постійних фізико-хімічних умовах (температура, тиск, концентрація) кути між однотипними парами граней даної кристалічної речовини завжди постійні”.

1.3 згідно з Є.С.Федоровим „Симетрія є властивість геометричних фігур в різних положеннях приходити в суміщення з первинним положенням, відповідно, ця закономірна повторюваність – для однакових граней, ребер і кутів” [1].

Таким чином, симетрією називається властивість геометричних фігур повторювати свої аналогічні частини певне ціле число разів.

Основні операції, за допомогою яких визначається симетрія кристалів, такі:

• відбиття аналогічних частин кристалу через його центр (з подальшим поворотом) – центр інверсії;

• суміщення окремих частин кристалу з аналогічним поворотом його навколо прямої – вісі симетрії;

• суміщення - відбиття часини кристалу через його центр с подальшим поворотом навколо вибраної вісі цієї частини на певний кут - через вісь інверсії;

• суміщення - відбиття частини кристалу через дзеркальну площину - площину симетрії.

В комплекс елементів симетрії входить: центр інверсії - C; поворотні вісі симетрії – L; інверсійні вісі симетрії – Li; площини симетрії – P; одиничні напрями – OH.

Центром інверсії називається така точка в середині фігури, через яку, як що провести пряму, то по обидві сторони від неї на однакових відстанях знаходяться аналогічні частини фігури. Як бачимо на рис. 1.6, проведені прямі АА₁, ВВ₁, ДД₁ на однакових відстанях від точки С по обидві сторони мають аналогічні частини трикутників А В Д і А₁В₁Д₁.

а б

Рисунок 1.6 – (а) - ілюстрація оберненої (інверсійної) паралельності двох трикутників пов’язаних центром інверсії, (б) – два паралелограми, грані яких пов’язані між собою центром інверсії

Для визначення центру інверсії в моделях рекомендується: покласти їх на рівну площину (стіл, дошка), а паралельність відповідної їй верхньої грані, визначити лінійкою. Якщо кожна грань має собі паралельну – центр інверсії присутній.

При визначенні центру інверсії в кристалах необхідно пам’ятати одну з теорем (теорема 1 ), яка говорить, що „При наявності в кристалі осі симетрії парного порядку і площини симетрії, розміщеної перпендикулярно до цієї осі, центр інверсії присутній” [6].

Поворотною віссю симетрії (L) називається пряма, при повороті навколо якої на 360⁰ частини фігури повторюються „n” ціле число разів. Для того, щоб дати характеристику осі симетрії, необхідно знайти найменший кут обертання, який веде до само суміщення аналогічних частин фігури. Такий кут називається елементарним кутом обертання – . Відповідно порядок осі симетрії відповідає числу, яке показує, скільки разів елементарний кут  повторюється при обертанні кристалу навколо осі симетрії на 360⁰ . У кристалічних багатогранниках існують поворотні осі симетрії другого (L₂, =180⁰), третього (L₃, =120⁰), четвертого (L₄, =90⁰), шостого (L₆, =60⁰), порядків (рис. 1.7). Осі першого порядку (L₁, =360⁰) присутні в усіх кристалах в необмеженій кількості.

Рисунок 1.7- Приклади багатогранників з поворотними осями симетрії а–а₁ – L₂; б–б₁ – L₃; в–в₁ – L₄; г–г₁ – L₆

Поворотні осі симетрії діляться на полярні - ті, що перетинають різні елементи огранювання кристалу (грань - вершина; див. рис. 1.7в), і біполярні - ті, що проходять через однакові елементи огранювання (грань - грань; рис.1.7а,б,г), ребро - ребро, вершина - вершина).

При визначенні осей симетрії необхідно пам’ятати, що їх кількість і порядок визначається двома теоремами [1]:

Теорема 2 .При наявності центру інверсії та площини симетрії перпендикулярно до останньої розміщується вісь симетрії парного порядку.

Теорема 3. При наявності центру інверсії та осі симетрії парного порядку L_n (L₂, L₄, L₆) перпендикулярно до останньої розміщуються „n” - число осей другого порядку.

Інверсійною віссю симетрії називається пряма, при

повороті навколо якої на 360⁰ з відповідним переносом - відбиттям (інверсією) через центр кристалу аналогічні частини суміщаються самі із собою „n” ціле число разів. В кристалах можуть бути присутні інверсійні осі четвертого L_i4 (рис. 1.8, а) і шостого L_{i 6} (рис. 1.8, б) порядків.

Р исунок 1.8 - Приклади багатогранників з інверсійними осями:

а) – L_{i 4} (інверсія грані АВС з поворотом на 90⁰ в грань СДВ);

б) – L_{i 6} (інверсія грані АВС з поворотом на 60⁰ в грань ДАЕ).

П лощина симетрії – це площина, яка ділить кристал на дві рівнозначні частини, розміщені одна відносно іншої як предмет і його дзеркальне відбиття (рис. 1.9).

Рисунок 1.9 - Площини симетрії в багатогранниках: а) прямокутний паралелепіпед має три площини симетрії – дві вертикальні (P₁ і P₂) і одну горизонтальну (P₃); б) – куб має дев’ять площин симетрії – чотири вертикальних (P_1, P₂, P₃, P₄), чотири похилі (P_5, P₆, P₇, P₈) і одну горизонтальну (P₉).

Відносно елементів огранювання кристалів (грані, ребра, вершини) площини симетрії можуть проходити через ребра (вздовж і впоперек), перпендикулярно до граней і через вершини, поділяючи гранні кути на дві рівні частини.

Кількість площин симетрії і порядок їх розміщення в кристалі визначається двома теоремами [4,5]:

Теорема 4. При наявності центру інверсії і осі симетрії парного порядку перпендикулярно до останньої розміщується площина симетрії.

Теорема 5. При наявності осі симетрії і хоча б однієї площини симетрії, яка проходить вздовж цієї осі, відповідно маємо „n” площин, які проходять вздовж цієї ж осі.

1.4 Одиничним напрямом (ОН) називається напрям (пряма) в кристалах, який не має собі аналогічного, тобто не повторюється. В кристалах може бути присутнім один одиничний напрям (рис. 1.10, а), три (рис.1.10, б), багато (рис.1.10, в), необмежена кількість (рис.1.10, г).

Рисунок 1.10 - Приклади багатогранників з різною кількістю одиничних напрямів: а) - один (ОА); б) - три (АА₁, ВВ₁, СС₁); в) - багато (АА₁, ВВ₁, СС₁, ДД₁ та ін.); г) - всі напрями одиничні (АА₁, ВВ₁ та інші)

У відношенні розміщення одиничних напрямів щодо елементів симетрії, то вони можуть проходити через центр інверсії, співпадати з площинами та осями симетрії або розміщатися перпендикулярно до них.

Крім одиничних напрямів у кристалах присутні так звані симетрично-рівні напрями, тобто такі, які повторюються декілька разів. Вони розміщені похило до L₂, L₃, L₄, L₆, P або співпадають з 3L₂, 4L₂, 6L₂, 4L₃, 3L₄.

Якщо напрям має собі аналогічний, тобто є його дзеркальним відбиттям відносно площини симетрії, або як такий, що повторюється відносно будь-якої вісі симетрії „n” разів, то такий напрям є симетрично-рівним.

Вчення про елементи симетрії та одиничні напрями

дозволили зробити математичну класифікацію всіх

кристалічних тіл і згрупувати їх у певні класифікаційні одиниці - види (класи) симетрії, сингонії та категорії (табл. 1.1, 1.2)

1.5 Вивід видів симетрії з одиничними напрямами.  До одиничного напряму ОН, який в подальшому іменується вихідним, поступово приєднуються:

(OH1 + II Ln)	(OH1 + I L2)
(OH1 + C)	(OH1 + C + II P)
(OH1 + I P)	(OH1 + Lin)
(OH1 + II P)	(OH1 + Lin + II P)

1.6 Вивід видів симетрії без одиничних напрямів.

Враховуючи, що в даних кристалічних багатогранниках одиничні напрями відсутні, за вихідні беруться осі симетрії трьох основних фігур кубічної сингонії:  тетраедра, гексаедра,

октаедра. Отже:

• сукупність осей симетрії тетраедра (4L₃,3L₂) береться за примітивний вид (табл. 1.1);

• для виводу центрального виду додається С. Згідно з теоремою 1, перпендикулярно до кожної L₂ будуть P. Формула буде 4L₃,3L₂3PC;

• для виводу планального виду симетрії вздовж 4L₃ проводять площини симетрії P. Згідно з теоремою 5 вздовж кожної L₃ проводяться 3P, причому кожна Р проходить одночасно і через 2L₂. Отже кінцева формула симетрії буде 4L₃,3L_і6Р(4L₃3L_і46L₂);

• для виведення аксіального виду симетрії до 4L₃ перпендикулярно додаємо L₂, в підсумку одержавши 3L₄4L₃6L₂.

• приєднуючи до виведеного виду симетрії 3L₄4L₃6L₂ центр інверсії С, враховуючи теорему 4, одержимо планаксіальний вид симетрії 4L₃3L₄6L₂9Р.

Таблиця 1.1 - Класифікація і формули симетрії кристалічних багатогранників.

Категорії	Сингонія	Ступінь симетричності, вид і формула симетрії
		Примітивна	Цен­тральна	Аксіальна	Плана­льна	План­аксіальна	Інверсістно-примітивна	Інверсістно-планальна
Н ижча	Триклинна	1.	2. С
	Моно­клінна			3. L2	4. P	5. CL2P
	Ромбічна			6. 3L2	7. L22P	8. C3L23P
Середня	Триго­нальна	9. L3	10. CL3	11. L33L2	12. L33P	13. CL33L23P
	Тетрагональна	14. L4	15. CL4P	16. L44L2	17. L44P	18. CL44L25P	19. Li4(®L2)	20. Li42L22P
	Гексагональна	21. L6	22. CL6P	23. L66L2	24. L66P	25. CL66L27P	26. Li6(L3P)	27. Li63L23P (L33L24P)
Вища	Кубічна	28. 4L33L2	29. C4L33L23P	30. 4L33L46L2	31. 4L33L26P	32. C4L33L46L29P

Таблиця 1.2 - Характеристика сингоній і категорій кристалів

Категорія Коротка характеристика	Сингонія	Кількість одиничних напрямків	Визначальні елементи симетрії	Лінійні і кутові параметри
Нижча Декілька одиничних напрямів. Осі симетрії L3, L4, L6 відсутні	Триклинна	Всі	С	а  в  с
	Моноклінна	Багато	L2PC,P,L2	а  в  с     γ  900   900
	Ромбічна	Три	L22P 3L2 3L23PC	а  в  с     γ  900
Середня Один одиничний напрям співпадає з L3, L4, L6	Тригональна	Один	L3	а = в  с I = II = III = 1200 IV = 900
	Тетрагональна	Один	L4 (Li4)	а = в  с  =  = γ = 900
	Гексагональна	Один	L6 (Li6)	а = в = с I = II = III = 1200 IV = 900
Вища Одиничні напрями відсутні	Кубічна		4L3	а = в = с  =  = γ = 900

1.7 Російський вчений А.В.Гадолін довів, що в кристалах можливі 32 різні комбінації елементів симетрії, що називаються видами, чи класами симетрії. Всі види симетрії групуються за ступенем складності в сім великих груп, чи систем – кристалографічних сингоній (табл. 1.3). Серед них виділяють нижчі, середні, вищі.

Найменш симетричні - кристали триклинної сингонії. В них серед усіх можливих елементів симетрії часто спостерігається лише центр симетрії, але іноді він відсутній. Цей вид сингонії характерний для альбіту, мікрокліну та іншім мінералам.

Таблиця 1.3 - Характеристика сингоній багатогранників

Категорії	Найменування сингонії	Формули симетрії кристалів	Елементи симетрії, що визначають сингонію
Нижча	Триклинна	-	— ; С
		С
	Моноклінна	Р	P, L2, C
		L2
		L2PC
	Ромбічна	L22Р	 3P;  3L2; С
		3 L2
		3L23PC
Середня	Тригональна	L3	L3
		L3C
		L33P
		L33L2
		L33L33PC
	Тетрагональна	L4	L4
		L4PC
		L44P
		L44L2
		L44L25PC
		Li4 (=L2)
		Li4 (=L2) 2L22Р
	Гексагональна	L6	L6
		L6PC
		L66P
		L66L2
		L66L27PC
		Li6 (= L3P)
		Li63L23P (= L33L24P)
Вища	Кубічна	3L24L3	3L44L3
		3L24L33ЗС
		3Li44L36P
		3L44L36L2
		3L44L36L29PC

До моноклінної сингонії відносяться кристали, які мають або одну площину симетрії, або одну вісь другого порядку, або і ту і другу разом із центром інверсії. До цієї категорії належать ортоклаз, гіпс, мусковіт, деякі амфіболи.

Ромбічна сингонія характерна для кристалів з одною або трьома осями другого порядку і двома або трьома площинами симетрії (L₂2P або 3L₂3PC), а також кристали з трьома осями другого порядку (3L₂) без площини симетрії. В поперечному розрізі вони мають форму ромба. Перераховані види симетрії належать до категорії нижчих сингоній.

До середніх сингоній належать кристали лише з одною віссю симетрії вищого порядку, це кристали гексагональної і тетрагональної сингоній, форми яких дуже подібні.

В тригональній сингонії вище поєднання елементів симетрії - L₃3L₂3PC. Типова форма кристалів даної сингонії, наприклад, кристалів кальциту, доломіту, магнезиту, гематиту - ромбоедри. До цієї ж сингонії належать корунд і кварц, хоча кристали останнього мають вигляд гексагональних призм, увінчаних мовби гексагональними пірамідами. В дійсності вершини кварцу являють собою комбінацію двох ромбоедрів.

Тетрагональна, чи квадратна сингонія відрізняється присутністю в кристалах однієї осі четвертого порядку. В розрізі, перпендикулярному до цієї осі, зазвичай спостерігається форма квадрата, чи восьмикутника. Вищим поєднанням елементів симетрії в даній сингонії може бути L₄4L₂5PC. Ця сингонія характерна, наприклад, халькопіриту і рутилу.

Для кристалів гексагональної сингонії характерна форма шестигранних призм, грані яких - паралельні осі шостого порядку L₆. Такими є кристали апатиту і берилу. Вище поєднання елементів симетрії – L₆6L₂7PC.

До вищої сингонії належать кубічна, яка об’єднує найбільш симетричні кристали (кам’яна сіль, пірит, алмаз, магнетит). Вони мають вигляд кубів, октаедрів та інших. Вище поєднання елементів в кубічній сингонії 3L₄4L₃6L₂9PC.

Таким чином, при визначенні симетрії реальних кристалів, необхідно брати до уваги цілий ряд ознак. Симетрії підкоряються також і фізичні властивості кристалів (електричні оптичні, механічні і інші.). Тому, встановлюючи істинну симетрію кристалічних багатокутників, потрібно враховувати їх фізичні властивості. Сукупність даних, одержаних всіма вказаними методами, дозволяє встановити симетрію реальних кристалів[3]

Вивченням кристалічних форм і структур мінералів займаються науки кристалографія [2] і мінералогія [3, 4], що буде розглянуто в наступних лабораторних роботах.