Магнетик

Рассмотрим теперь аналогичную магнитную задачу. На рисунке изображены намагниченный стержень и эквивалентный ему цилиндр с поверхностным током. Мы доказывали, что поля во внешней области, создаваемые изображенными на рисунке объектами, одинаковы. Рассмотрим теперь поля внутри этих объектов. Воспользуемся теоремой о потоке.

Для любой точки вне цилиндров

Значит поверхностные интегралы по произвольным частям поверхности, лежащим внутри объектов:

.

Отсюда следует, что

Усредненное по объему внутри магнетика магнитное поле равно полю, созданному в пустом пространстве внутри соленоида эквивалентным распределением токов .

По теореме Гаусса для вектора , примененной к конденсатору:

Полученное равенство можно переписать в векторном виде:

- поле внутри конденсатора.

Теорема о потоке для вектора (домножаем скалярно полученное равенство на и интегрируем):

или в дифференциальной форме:

Запишем дифференциальную форму теоремы Гаусса для электрического поля с учетом диэлектрика:

Домножим на и перенесем в левую часть :

По определению вводится вектор .

Кроме того, по нашему определению диэлектриков,

Перепишем теоремы о дивергенции и о потоке для вектора :

Перепишем иначе выражение для вектора :

В аналогичной магнитной задаче:

В отличие от соответствующей формулы для диэлектриков, эта формула не была ранее нами выведена. Здесь речь идет о соленоиде и применении теоремы о циркуляции магнитного поля к полю внутри бесконечно длинного соленоида.

Итак, по теореме о циркуляции:

,

где - полный ток, пронизывающий данный контур.

Ненулевой вклад в дивергенцию - .

,

Это равенство можно переписать в векторном виде:

Теорема о циркуляции вектора (домножаем скалярно на и интегрируем):

или в дифференциальной форме:

,

где - плотность тока, созданная молекулярными токами.

В аналогичной магнитной задаче:

,

где - плотность свободных токов, которую мы можем сами регулировать.

По определению введем вспомогательный вектор: (*)

.

Рассмотрим магнетики, у которых магнитный момент возникает из-за того, что мы его погружаем в магнитное поле, проводя аналогию с диэлектриками:

(“хи”-магнитная восприимчивость).

Так получилось, что справа стоит вектор

Теорема о циркуляции:

, или

И, по аналогии с вектором в электричестве:

Модуль вектора имеет размерность силы тока, деленной на длину, в связи с этим единицей величины является ампер на метр .

После введения вектора напряженности магнитного поля в правой части уравнений остаются только токи проводимости (токи намагничивания выпадают из уравнений). В этом и заключается смысл введения этого вспомогательного вектора. Вектор в учении о магнетизме играет такую же вспомогательную роль, как вектор в электростатике.

Основным вектором является вектор - силовой вектор. Исторически он получил неудачное название – вектор индукции, хотя правильнее (по смыслу) его было бы называть вектором напряженности магнитного поля. Такая иррациональность возникла из-за того, что учение о магнетизме развивалось по аналогии с электростатикой, а об отсутствии магнитных зарядов стало известно позднее.

О магнитной проницаемости поговорим позже. (См. пункт 11.4)

Обратим внимание на принципиальную разницу полей внутри диэлектрика и магнетика, которая вызвана отличием полей внутри электрического и магнитного диполей.

Фрагмент магнетика

Если бы нас интересовало только внешнее поле, снаружи от образцов, то можно было бы ввести понятие фиктивных магнитных зарядов ( , северных и южных). Тогда (как и в электростатике) можно было бы ввести понятие скалярного потенциала так, чтобы . Однако поле внутри магнетика такое, как на рисунке (б), а не такое, как на рисунке (а), где есть источники и стоки силовых линий. На рисунке нет источников силовых линий, нет зарядов! Но если бы нас не интересовала внутренняя область, то мы могли бы придумать магнитные заряды и ими пользоваться. Однако нас интересует магнитное поле внутри магнетика, поэтому от понятия фиктивных зарядов нужно отказаться и согласиться с тем, что поле внутри магнетика эквивалентно полю ленты с поверхностным током .

Теорему о циркуляции магнитного поля иногда называют законом полного тока для магнитного поля в вакууме.

Рассмотрим по аналогии закон полного тока для магнитного поля в веществе. Мы его уже записывали в дифференциальной форме в предыдущем пункте.

(10,4)

(10.5)

11.2

11.3