14.6 Вынужденные колебания в электромагнитном контуре

Рассмотрим вынужденные электромагнитные колебания в контуре, показанном на рис. 6. Для основного в этой задаче линейного неоднородного дифференциального уравнения (11) справедлив принцип суперпозиции, который утверждает следующее. Если q₁(t) является решением при внешнем воздействии ₁(t), а q₂(t) - при воздействии ₂(t), то функция q(t) = q₁(t) + q₂(t)является решением при воздействии (t) =  ₁(t) +  ₂(t). Кроме того, согласно теореме Фурье всякая периодическая функция достаточно общего вида может быть разложена в ряде Фурье, т.е. представлена в виде суммы конечного или бесконечного числа синусоидальных функций. Это позволяет задачу о вынужденных колебаниях под действием достаточно произвольно меняющейся со временем ЭДС свести к частной задаче о вынужденных колебаниях под действием гармонической ЭДС. Таким образом, задача сводится к решению уравнения

. (34)

Среди частных решений этого уравнения найдем такое, которое меняется со временем по гармоническому закону с частотой внешней ЭДС . Для этого, вводя комплексное представление для правой части уравнения (34)

,

будем искать q(t) в виде . При этом , . После подстановки этих представлений в (34) находим

.

Сравнивая последнее выражение со стандартной формой записи комплексной амплитуды

,

находим для амплитуды заряда q₀ и сдвига фаз заряда по отношению к внешней ЭДС:

.

Таким образом, частное решение уравнения (34) имеет вид

. (35)

Добавив к решению (35) общее решение (19) соответствующего однородного уравнения (17), получим

.

Добавленное слагаемое описывает свободные затухающие колебания заряда в контуре с частотой . Выбором постоянных и можно удовлетворить любым начальным условиям. Однако, каковы бы они ни были, свободные колебания экспоненциально затухают, и через время t >> 1 / практически останутся только одни вынужденные колебания, совершенно не зависящие от начальных условий.

 

a)

б)

Рис. 13. Вынужденные колебания заряда на пластине конденсатора в RLC-контуре: а - амплитудно-частотная характеристика; б - фазово-частотная характеристика

На рис. 13а показана амплитудно-частотная

, (36)

а на рис. 13б - фазово-частотная

(37)

характеристики для заряда конденсатора в колебательном контуре. Аналогичные характеристики для тока в контуре получим после дифференцирования по времени функции (35):

.

Амплитудно-частотная характеристика тока

(38)

показана графически на рис. 14а, фазово-частотная характеристика тока

(39)

изображена на рис. 14б,.

 

а)

б)

Рис. 14. Вынужденные колебания тока в RLC-контуре: а - амплитудно-частотная характеристика; б - фазово-частотная характеристика

Амплитудно-частотные (36), (38) и фазово-частотные (37), (39) зависимости можно получить иначе, опираясь на выражение для импеданса контура:

,

где , или используя векторную диаграмму для контура, показанную на рис. 15.

Рис. 15. Векторная диаграмма для RLC-контура. Показаны векторы напряжений на отдельных элементах контура

Проанализируем результаты (36) - (39) для трех диапазонов частоты .

Малые частоты ( ). Заряд на емкости успевает “подстраиваться” под мгновенное значение ЭДС. Явление самоиндукции не проявляется, ток очень мал и почти вся величина приложенного напряжения источника падает на емкости. Ток, опережая на по фазе ЭДС, обеспечивает синфазные колебания заряда и величины ЭДС. Рис. 16 и следующие соотношения характеризуют низкочастотные вынужденные колебания:

(40)

Рис. 16. Векторная диаграмма для RLC-контура в случае низких частот ( )

Большие частоты ( ).Заряд на конденсаторе накапливаться практически не успевает. Ток тоже невелик, поскольку его амплитуда пропорциональна заряду. Таким образом, напряжение источника почти полностью падает на индуктивности. Рис. 17 и следующие формулы соответствуют случаю высокочастотных колебаний:

(41)

Рис. 17. Векторная диаграмма для RLC-контура в случае высоких частот ( )

Область резонанса ( ). Как показывает соответствующий анализ формул (36) и (38), амплитуды заряда и тока достигают максимальных значений при частотах   и соответственно (см. рис. 13а, и 14а,). При этом в случае слабого затухания ( )резонансные частоты практически совпадают друг с другом и равны собственной частоте . Принимая во внимание , приходим к выводу, что в этой области частот напряжения на индуктивности и емкости близки по величине и противоположны по фазе. Таким образом, практически вся величина ЭДС падает на омическом сопротивлении R, обеспечивая максимальную амплитуду тока (величина |  z | при этом минимальна). Важно отметить, что при резонансе ток и ЭДС синфазны, а это обеспечивает максимально возможную мощность, поступающую от источника в контур и рассеивающуюся на резисторе. Рис. 18 и следующей формулы описывают резонансную область частот:

(42)

Рис. 18. Векторная диаграмма для RLC-контура в случае резонанса тока ( )

Заметим, что отношение максимального значения заряда при резонансе (в случае малого затухания ( ) q₀ ( )к статическому значению заряда q₀(0) равно добротности контура Q. Действительно,

,

что совпадает с определением (21).

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рисунок 2.3.4. Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q

Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды U_C напряжения на конденсаторе к амплитуде ₀ напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q.

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

Модель. Вынужденные колебания в RLC-контуре

ПОЯСНЕНИЯ К МОДЕЛИ

Вынужденными колебаниями называются установившиеся колебания в электрической цепи под действием внешнего источника синусоидального (гармонического) напряжения вида U cos ωt. Вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника. Частным случаем цепи, в которой происходят вынужденные колебания, является последовательный RLC-контур. Если внешнее гармоническое напряжение включено в RLC-контур, то амплитуда вынужденных колебаний тока или напряжения на элементах цепи сильно зависит от соотношения между частотой ω генератора и собственной частотой ω₀. При ω = ω₀ наступает резонанс. При резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе (U_C) и катушке индуктивности (U_L) становятся максимальными. График зависимости отношения (U_C / U) или (U_L / U) называется резонансной кривой.

«Острота» резонансной кривой сильно зависит от энергетических потерь в контуре. При увеличении активного сопротивления контура резонансная кривая становится менее «острой».

Между напряжением генератора и напряжением на конденсаторе имеется фазовый сдвиг, зависящий от соотношения между ω и ω₀. При резонансе фазовый сдвиг равен π / 2.

Соотношения между амплитудами напряжений и токов и их фазами при вынужденных колебаниях удобно анализировать с помощью векторных диаграмм.

В компьютерной модели можно изменять параметры RLC-контура, а также частоту ω внешнего источника. При изменении параметров на дисплее высвечивается новая резонансная кривая, на которой точкой отмечается результат компьютерного эксперимента. Одновременно высвечивается векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображаются колебания тока и напряжений на элементах цепи.

Обратите внимание, что при сильном затухании в контуре (т. е. при достаточно большом значении активного сопротивления R) максимум резонансной кривой несколько сдвигается в область низких частот относительно собственной частоты ω₀.