1.3. Розв’язування дробово-лінійної задачі зведенням до задачі лінійного програмування

Нехай потрібно розв’язати задачу (1.1)—(1.3).

Позначимо

і введемо заміну змінних .

Тоді цільова функція (1.1) матиме вигляд:

.

Отримали цільову функцію, що виражена лінійною залежністю.

Оскільки , то звідси маємо: .

Підставимо виражені через нові змінні значення в систему обмежень (1.2):

Крім того, з початкової умови

.

Умова (1.3) стосовно невід’ємності змінних набуває вигляду: .

Виконані перетворення приводять до такої моделі задачі:

, ,

Отримали звичайну задачу лінійного програмування, яку можна розв’язувати симплексним методом.

Допустимо, що оптимальний розв’язок останньої задачі існує і позначається:

.

Тоді оптимальні значення початкової задачі (1.1) — (1.3) визначають за формулою:

.

Приклад 1.2 Для виготовлення двох видів виробів П₁ і П₂ на підприємстві використовують чотири типи обладнання. У таблиці 1.1 вказано час обробки одиниці виробу кожного виду на обладнанні різного типу, а також витрати, які пов’язані з виготовленням одиниці продукції кожного виду. Обладнання типу І повинно працювати не менше ніж 36 год., а типу ІІ, ІІІ та ІV відповідно не більше ніж 70, 30 і 36 год. Скільки виробів кожного виду потрібно запланувати до випуску, щоб їх собівартість була б найменшою ?

Таблиця 1.1

Техніко-економічні показники виробництва

\ Вироби	Час використання обладнання, год.
Обладнання \	П1	П2
Тип І	6	6
Тип ІІ	10	7
Тип ІІІ	6	0
Тип ІV	0	9
Витрати на виробництво, од.	4	3

Розв’язання. І. Складаємо математичну модель задачі:

Нехай на підприємстві планують вимовляти х₁ одиниць виробу П₁ і х₂ одиниць виробу П_2. Тоді загальні витрати на їх виробництво складають 4х₁ + 3х₂, а собівартість одного виробу (відношення затрат до кількості) F = ( 4х₁ + 3х₂ ) / ( х₁ + х₂)

Згідно з даними таблиці 1.1 обладнання типу І працюватиме (6 х₁ + 6 х₂) год., типу ІІ - ( 10х₁ + 7х₂ ) год., типу ІІІ - ( 6х₁ + 0х₂ ) год., типу ІІ - ( 0х₁ + 9х₂ ) год. Беручи до уваги обмеження на загальний час використання і економічний зміст змінних х₁ і х₂, отримуємо систему нерівностей

6х₁ + 6х₂ ≥ 36,

10х₁ + 7х₂ ≤ 70,

6х₁ + 0х₂ ≤ 30,

0х₁ + 9х₂ ≤ 36 при х₁ ≥ 0 і х₂ ≥ 0.

Звідси маємо таку задачу дробово-лінійного програмування

F = ( 4х₁ + 3х₂) / ( х₁ + х₂ ) → min (1.10)

при обмеженнях

6х₁ + 6х₂ ≥ 36,

10х₁ + 7х₂ ≤ 70,

0 ≤ х₁ ≤ 5,

0 ≤ х₂ ≤ 4, (1.11)

ІІ. Розв’язування задачі наведено графічним методом.

На рис. 1.2 зображено чотирикутник ABCD , який відповідає системі обмежень (1.11). Функція F визначена в кожній точці цього чотирикутника, а сам він розташований у куті AOD. Тому одна з точок А ( 2; 4) або D ( 5; 1 ) є розв’язком задачі. Обчислюємо F (А) = ( 4 2 +3 4 ) / ( 1 + 5 ) = 20 / 6 = 10 / 3; F (D) = ( 4 5 +3 1 ) / ( 4 + 2 ) = 23 / 6 і переконуємося, що оптимальний план Х₀ = ( х₁; х₂ ) = ( 2; 4 ) і мінімальне значення F = 10/3. Іншими словами, щоб собівартість була мінімальною (Ф= 10/3), підприємство повинно виготовляти 2 одиниці виробів П₁ та 4 одиниці виробів П₂ .

Рис. 1.2

ІІІ. Зводимо задану задачу до задачі лінійного програмування.

За допомогою замін у₀ = 1 / ( х₁ + х₂), у_{і =} у₀ х_і, х_і = у_і / у₀, і = 1,2 та співвідношення у₁ + у₂ = 1 (1.12) отримаємо F = (4у₁ + 3у₂) →min

6у1 + 6у2 ≥ 36 у0, 10у1 + 7у2 ≤ 70 у0, у1 ≤ 5у0, у2 ≤ 4у0, у1 + у2 = 1 у0 ≥ 0, у1≥ 0, у2 ≥ 0,

6у0 ≤ 1, -70у0 +10у1 + 7у2 ≤ 0, -5у0 + у1 ≤ 0, -4у0 + у2 ≤ 0, у1 + у2 = 1

6у0 +у3 = 1, -70у0 +10у1 + 7у2 +у4 = 0, -5у0 + у1 +у5 = 0, -4у0 + у2 +у6 = 0, у1 + у2 +у7 = 1

де у₃, у₄, у₅, у₆, - додаткові змінні, а у₇- штучні змінні.

ІV. Хід розв’язування задачі симплексним методом наведено в таблиці 1.2.

З неї отримуємо розв’язок Y₀ = ( у₁, у₂, у₃ ) = ( 2/6; 4/6; 0) і F= 20/6 = 10/3. Користуючись співвідношенням (1.12), знаходимо Х₀ = (х₁, х₂) = ( 2; 4) і теж саме значення функції мети F = 10/3 →min

Таблиця 1.2

№ рядка	Базис	\ С1 СБ \	В	0	4	3	0	0	0	0	М
				у0	у1	у2	у3	у4	у5	у6	у7
1	у3	0	1	6	0	0	1	0	0	0	0
2	у4	0	0	-70	10	7	0	1	0	0	0
3	у5	0	0	-5	1	0	0	0	1	0	0
4	у6	0	0	-4	0	1	0	0	0	1	0
5	у7	М	1	0	1	1	0	0	0	0	1
6	d1= z1 - c1		М	0	М-4	М-3	0	0	0	0	0
7	у3	0	1	6	0	0	1	0	0	0	0
8	у4	0	0	-42	10	0	0	1	0	-7	0
9	у5	0	0	-5	1	0	0	0	1	0	0
10	y2	3	0	-4	0	1	0	0	0	1	0
11	у7	М	1	4	1	0	0	0	0	-1	1
12	d2= z2 - c1		М	4M - 12	М - 4	0	0	0	0	-M + 3	0
13	y0	0	1/6	1	0	0	1	0	0	0	0
14	у4	0	7	0	10	0	0	1	0	-7	0
15	у5	0	5/6	0	1	0	0	0	1	0	0
16	y2	3	4/6	0	0	1	0	0	0	1	0
17	у7	М	2/6	0	1	0	0	0	0	-1	1
18	d3= z3 - c1		М/3+2	0	М - 4	0	-2M/3+2	0	0	-M/6 + 3	0
19	y0	0	1/6	1	0	0	1/6	0	0	0
20	у4	0	11/3	0	0	0	41/3	1	0	3
21	у5	0	3/6	0	0	0	9/6	0	1	1
22	y2	3	4/6	0	0	1	4/6	0	0	1
23	y1	4	2/6	0	1	0	-4/6	0	0	-1
24	d4= z4 - c1		20/6	0	0	0	-4/6	0	0	-1

Приклад 1.3 Сільськогосподарське акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю, яке розміщене у Лісостепу України, бажає оптимізувати структуру виробництва. Критерієм оптимальності вибрали максимізацію рівня рентабельності як відношення прибутку до собівартості. У табл. 1.3 маємо дані про види діяльності, якими керівництво товариства передбачає займатися. Акціонерне товариство має 2500га ріллі. Для виготовлення кормів передбачається використовувати 20% урожаю озимої пшениці та 30 % — цукрових буряків.

Знайти оптимальну структуру виробництва.

Таблиця 1.3

Техніко-економічні показники головних напрямів виробництва

Показник	Напрям виробництва
	озима пшениця	цукрові буряки	корови (продуктивність, кг)				кормові культури	ресурс
			5000	4500	4000	3500
Урожайність, т/га	4	35	—	—	—	—	6	—
Собівартість, грн./т	600	250	600	700	800	900	200	—
Ціна, грн./т	800	300	1000	1000	1000	1000	—	—
Вихід кормів, т кор. од./га	4,8	2,0	—	—	—	—	6	—
Затрати трудових ресурсів, людино-днів/га (гол.)	4	25	6	6	6	6	3	26 000
Затрати механізованої праці, людино-днів/га (гол.)	2	8	3	3	3	3	2	11 000
Частка корів	—	—	0,1	0,2	0,3	0,4	—	—
Потреба у кормах, т кор. од./гол.	—	—	5	4,7	4,4	4,1	—	—

Розв’язання. І. Введемо позначення:

х1 — площа посіву озимої пшениці, га;

х2 — площа посіву цукрових буряків, га;

х3 — площа посіву кормових культур, га;

х4 — кількість корів продуктивністю 5000 кг/рік;

х5 — кількість корів продуктивністю 4500 кг/рік;

х6 — кількість корів продуктивністю 4000 кг/рік;

х7 — кількість корів продуктивністю 3500 кг/рік.

ІІ. Запишемо критерій оптимальності:

за умов дотримання таких обмежень:

1. Обмеження щодо використання ресурсів:

а) використання ріллі: ;

б) використання живої праці: ;

в) використання механізованої праці:

2. Обмеження стосовно дотримання сівозмін:

а) посівна площа кормових культур має бути більшою або дорівнювати площі під озимою пшеницею: ;

б) посівна площа озимої пшениці має бути більша або дорівнювати площі під цукровими буряками: .

3. Структура корів за продуктивністю:

а) балансове рівняння щодо поголів’я корів: ,

де — загальне поголів’я корів;

б) частка корів продуктивністю 5000 кг/рік: ;

в) частка корів продуктивністю 4500 кг/рік: ;

г) частка корів продуктивністю 4000 кг/рік: ;

д) частка корів продуктивністю 3500 кг/рік: .

4. Забезпеченість корів кормами:

5. Невід’ємність змінних: , де .

ІІІ. Щоб знайти розв’язок за цією моделлю, необхідно зробити відповідну заміну змінних. Нехай:

і .

Тоді маємо таку лінійну економіко-математичну модель:

за умов:

;

;

.

.

.

, де .

ІV. Розв’язавши задачу симплексним методом, отримаємо такий оптимальний план: . Враховуючи, що , де , то оптимальним планом початкової задачі буде: ,

причому значення цільової функції (рівень рентабельності виробництва) становить Z = 0,23, тобто 23 %.