Теория вероятностей и математическая статистика_Лисьев В.П_Уч. пос_МЭСИ, 2006 -199с

Теория вероятностей и математическая статистика

Центральный момент четвёртого порядка µ4 характеризует островершинность за- кона распределения вероятностей случайной величины. За меру островершинности за- кона распределения принимается величина Exx, определяемая формулой

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны константам mx и σ 2x , а отношение µ4/σ x4 равно 3. Следовательно, Exx = 0. Таким образом, если Exx < 0, то

вершина распределения менее острая, чем у нормального распределения, если Exx > 0, то, напротив, вершина более острая.

Пример 2.14. Определить скошенность и эксцесс для экспоненциального закона

Заметим, что скошенность и эксцесс не зависят в данном случае от параметра λ.

Пример 2.15. Требуется найти все основные характеристики случайной величины X (математическое ожидание, дисперсию, скошенность и эксцесс), заданной таблично:

Перемножая возможные значения случайной величины на соответствующие веро- ятности и складывая все произведения, получим математическое ожидание: mx = 3,3. Вос- пользуемся формулой (2.18). Все данные для этого представлены в следующей таблице:

42

Случайные величины

Впоследнем столбце таблицы представлены центральные моменты: µ1 = 0, µ2 =

=2,312, µ3 = 2,393, µ4 = 16,271. Таким образом, дисперсия Dx = 2,312, среднее квадратиче- ское отклонение σx = 1,521. Следовательно,

2.8. Производящие функции

Все моменты случайной величины можно “запомнить” с помощью производящей функции. Производящей функцией начальных моментов случайной величины X называют математическое ожидание функции exp{uX}, где u – некоторая вспомогательная пере- менная:

Первая строка соответствует дискретной случайной величине, вторая – непрерыв-

ной.

Чтобы понять смысл производящей функции, рассмотрим разложение экспонен- ты exp{uX} в ряд Маклорена:

т.е. коэффициентами разложения функции ϕν(u) в ряд Маклорена являются начальные моменты, поделённые на соответствующие факториалы. Эта формула также непосредст- венно вытекает из самого определения производящей функции (2.23).

Производящей функцией центральных моментов случайной величины X называют математическое ожидание функции exp{u(X – mx)}:

Коэффициентами разложения этой функции в ряд Маклорена являются цен- тральные моменты, поделённые на соответствующие факториалы:

43

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, зная производящие функции, легко определить любой начальный и любой центральный момент по формулам

Вообще в математике производящей функцией последовательности a0, a1, …, an, … называют функцию

ϕ(u) = a0 + a1u + a2u2 + … + anun + …,

если только эта функция существует. Функция ϕν(u) является производящей функцией последовательности νn/n! (n = 0, 1, 2, …), а функция ϕµ(u) – производящей функцией по- следовательности µn/n! (n = 0, 1, 2, …). Возьмём в качестве последовательности вероятно- сти p0, p1, …, pn… возможных значений x0, x1, …, xn, … дискретной случайной величины X. Тогда получим функцию

которая называется производящей функцией вероятностей случайной величины X. Очевид- но, что ϕp(1) = 1 – условие нормировки вероятностей, а ϕp(0) = p0. Кроме того, зная ϕp(u) можно определить все вероятности pk (k = 0, 1, 2, …), т.е. полностью восстановить закон распределения вероятностей случайной величины:

Пример 2.16. Требуется найти производящую функцию начальных моментов слу- чайной величины X, распределённой по закону Бернулли:

P{X = k} = pk = Cnk pk qn−k , k = 0, 1, 2, ..., 0 ≤ p ≤1, q =1 − p.

Используя эту производящую функцию, определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Применим формулу (2.23) для дискретных величин:

Пример 2.17. Задана производящая функция вероятностей случайной вели- чины X, принимающей значения k = 1, 2, 3, …:

44

Случайные величины

Требуется восстановить закон распределения вероятностей случайной вели-

чины.

Воспользуемся формулой (2.27):

где k = 1, 2, 3, … . Этот закон распределения вероятностей называется геометриче- ским законом, или распределением Фарри.

2.9. Примеры дискретных законов распределения

Некоторые законы распределения вероятностей достаточно часто встречаются в практических задачах. Рассмотрим несколько таких законов.

Равномерное распределение. Говорят, что случайная величина X распределена по равномерному закону, если она может принимать только целые неотрицательные значе- ния от 1 до n, а вероятности всех возможных значений одинаковы. Таким образом,

Биномиальное распределение (распределение Бернулли). Говорят, что случайная величи-

на X распределена по биномиальному закону (или по закону Бернулли), если она может принимать только целые неотрицательные значения от 0 до n, а вероятности этих значе-

По смыслу случайная величина X является числом появления некоторого события в n независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испы- тании постоянна p.

Основные числовые характеристики:

математическое ожидание mx = np; дисперсия Dx = npq; наивероятнейшее значение s,

Таким образом, скошенность распределения может быть и положительной и от- рицательной. Распределение становится симметричным при p=0,5. Величина эксцесса всегда отрицательна и приближается к нулю при возрастании n. Отметим, что при n→∞ биномиальный закон распределения вероятностей неограниченно приближается к нор- мальному закону.

Биномиальный закон распределения вероятностей применяется в теории стрель- бы, в теории и практике статистического контроля качества продукции, в теории массо- вого обслуживания, в теории надежности и т.д. Этот закон может применяться во всех случаях, когда имеет место последовательность независимых испытаний.

45

Графики плотности и функции распределения вероятностей приведены на

Рис. 2.10. Графики функции и плотности равномерного

распределения вероятностей.

Равномерно распределены ошибки округления при выполнении числовых расчё- тов, время ожидания автобуса, (трамвая и т.п.) при условии, что интервал движения по- стоянен и строго выполняется, а пассажир прибывает на остановку в случайный момент времени. Равномерно распределено и время ожидания начала обслуживания заявки, по- ступающей в случайный момент в систему массового обслуживания, если обслуживаю- щее устройство включается через равные промежутки времени. При этом предполагает- ся, что все заявки, поступившие к моменту включения обслуживающего устройства, не- медленно принимаются к обслуживанию.

Равномерно распределённые величины применяются для получения (генерации) реализаций случайных величин, имеющих другие законы распределения вероятностей. Равномерное распределение является самым простым из непрерывных законов распре- деления. Поэтому путём определённых операций достаточно легко получить последова- тельность чисел, которые можно приближённо считать реализациями случайной вели- чины, распределённой равномерно в заданном интервале. Такие числа, а также их функ- циональные преобразования, называют псевдослучайными числами. Существует много ал- горитмов получения равномерно распределённых псевдослучайных чисел. Все они рабо- тают так, что через некоторый период начинают повторяться те числа, которые уже встречались. В этом и заключается смысл псевдослучайности полученных чисел. С пози- ций теории вероятностей повторение одной и той же реализации непрерывной случай- ной величины является событием с нулевой вероятностью. Если же само это событие по- вторяется многократно, то это очевидный признак того, что имеет место отклонение от равномерного закона распределения. Заметим, что генератор псевдослучайных чисел тем лучше, чем больший период повторения он имеет. В то же время следует заметить, что при практическом использовании полученных чисел они всегда округляются. Следова- тельно, даже при самом лучшем генераторе псевдослучайных чисел отклонение от за- данного закона распределения вероятностей неизбежно.

В программном обеспечении современных ЭВМ имеется программа генерации равномерно распределённых псевдослучайных чисел с параметрами a=0 и b=1. Можно приближенно считать, что числа, полученные с помощью такой программы, являются реализациями случайной величины X, распределённой равномерно в интервале (0; 1) и имеющей математическое ожидание mx=0,5 и дисперсию Dx=1/12.

47

Теория вероятностей и математическая статистика

Экспоненциальное (показательное) распределение. Говорят, что случайная величина X

распределена по экспоненциальному закону, если её плотность распределения вероятно- стей определяется формулой:

Соответствующая функция распределения вероятностей имеет следующий вид:

коэффициент вариации KV = 1.

Экспоненциальное распределение зависит от единственного параметра λ. Этим фактом определяются некоторые характерные свойства данного распределения.

В частности, среднее квадратическое отклонение σx всегда совпадает с математическим ожиданием, т.е. всегда коэффициент вариации равен единице.

Последовательность реализаций случайной величины, распределённой по экспо- ненциальному закону, легко получить экспериментально. Пусть T есть случайная вели- чина, распределённая равномерно в интервале (0; 1), а t – одно из значений этой величи- ны. Тогда число x, определяемое формулой

будет одним из значений случайной величины X, распределённой по экспоненциально- му закону с параметром λ. Если t получать с помощью генератора случайных чисел, то x будет реализацией псевдослучайной величины X, распределённой по этому закону. За- метим, что эта формула вытекает непосредственно из формулы (2.35), если предполагать, что сама функция F(x) является случайной величиной равномерно распределённой в ин- тервале (0; 1).

Экспоненциальное (или, иначе, показательное) распределение широко применя- ется в теории надёжности и в теории массового обслуживания. Оказывается, что случай- ное время безотказной работы многих технических систем обладает именно экспоненци- альным распределением. Кроме того, время восстановления (ремонта) отказавшей техни- ческой системы часто также оказывается распределённым по этому закону. В связи с эти- ми фактами экспоненциальное распределение получило относительно широкое приме- нение.

Экспоненциальное распределение имеет определённую связь с распределением Пуассона. Предположим, что мы наблюдаем некоторую последовательность событий, развивающуюся с течением времени. Если интервалы времени между моментами осуще-

48

Случайные величины

ствления последовательных событий распределены по экспоненциальному закону c па- раметром λ, то число событий, осуществившихся на интервале времени (0; t), будет рас- пределено по закону Пуассона с параметром λt. В связи с этим закон распределения Пу- ассона часто называют законом редких событий.

Нормальное распределение. Говорят, что случайная величина X распределена по нормальному закону, если её плотность распределения вероятностей определяется сле- дующей формулой:

Соответствующая функция распределения вероятностей имеет следующий вид:

Графики плотности и функции распределения вероятностей приведены на рис. 2.12. На рисунке представлены графики двух нормальных законов распределения веро- ятностей с разными числовыми характеристиками.

Рис. 2.12. Графики плотности и функции распределения вероят-

ностей нормально распределённой случайной величины.

Отметим, что нормальное распределение симметрично относительно своего мате- матического ожидания. В связи с этим, мода, медиана и математическое ожидание нор- мально распределенной случайной величины равны между собой.

Нормальное распределение удобно использовать в качестве эталонного распреде- ления при сравнении случайных величин. Однако для сравнения используется не произ- вольная нормально распределённая случайная величина, а величина с нулевым матема- тическим ожиданием и единичной дисперсией: mx=0, Dx=1. Обозначим плотность и функцию распределения вероятностей такой величины соответственно через f0(x) и F0(x). Тогда

Делая замену переменной интегрирования в (2.38), легко получить связь между функ- циями F(x) и F0(x):

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в интервал [α;β) определяется формулой:

Отметим, что преобразование случайной величины по формуле T=(X-m)/σ назы- вают операцией центрирования (вычитание математического ожидания) и нормирова- ния (деление на среднее квадратическое отклонение) случайной величины. Полученную таким образом случайную величину T называют центрированной (с нулевым математи- ческим ожиданием) и нормированной (с единичной дисперсией). Очевидно, что центри- рование и нормирование можно проводить раздельно.

При решении задач, связанных с нормальным распределением, часто вместо функции распределения вероятностей F0(x) используется функция Лапласа Ф0(x):

Таким образом, вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в интервал [α;β) можно находить и по следующей формуле:

Выбор формул (2.41) или (2.43) зависит только от того, какие таблицы имеются в распоряжении. В справочной литературе (а также в учебниках, в сборниках задач и т.п.) можно найти таблицы значений как функции распределения вероятностей F0(x), так и функции Лапласа Ф0(x). Заметим, что функция Ф0(x) является нечётной функцией, т.е. Ф0(-x) = -Ф0(x), а f0(x) является чётной функцией, т.е. f0(-x) = f0(x). Поэтому обычно приво- дятся таблицы значений этих функций только для положительных значений аргументов.

Нормально распределённые случайные величины встречаются очень часто в прак- тических задачах. Это связано с тем, что нормально распределённая случайная величина является следствием аддитивного (суммарного) взаимодействия большого числа других величин (или факторов), каждая из которых вносит малую долю в общий результат. Вооб- ще при определённых условиях закон распределения суммы случайных величин при уве- личении числа слагаемых неограниченно приближается к нормальному закону. Об этом говорит центральная предельная теорема, которая формулируется в теме 5. Частным слу- чаем этой теоремы являются локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, рас- смотренные в первой теме. Искусственное получение реализаций нормально распреде- лённой случайной величины также опирается на центральную предельную теорему. Ока- зывается, что уже двенадцать одинаково равномерно распределённых случайных величин в сумме представляют величину, закон распределения которой достаточно близок к нор- мальному закону. Если ti, i=1, 2,…,12, есть реализации случайной величины, распределён- ной равномерно в интервале (0; 1), то величина

i=1

будет реализацией центрированной и нормированной случайной величины, распреде- лённой приближенно по нормальному закону.

50