4. Составление системы уравнений для расчета токов и напряжений

Для расчета электрической схемы, необходимо составить систему уравнений по методу контурных токов.

В начале составляется граф электрической схемы, по которому выбираются независимые контуры, и задаются контурные токи. Для этих контуров составляются уравнения по второму закону Кирхгофа с учётом совместного влияния одного контура на другой. Направления обхода во всех контурах выбираются одинаковыми.

Знак падения напряжения в основном контуре от токов соседних контуров выбирается плюс, если их направление совпадает с основным контурным током, и минус в случае не совпадения.

Рис.7 – Направление токов в контурах сложной цепи

Рис.8 – Граф цепи

Направление обхода контуров выглядит следующим образом:

1. 12781

2. 23672

3. 34563

Система уравнений имеет вид:

I 1*(R+Z)-I2*Z=E1-E2

I2*(2R+2Z)-I3*(R+Z)-I1*Z=E2-E3

I3*(3R+Z)-I2*(R+Z)=-E4

5. Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом

Крамера

По системе уравнений составляется матрица сопротивлений Δ, т.е. выписываются соответствующие коэффициенты при токах I₁, I₂, I₃.

Токи в контурах определяются по формуле Крамера:

In=Dn/D

где D – полный определитель матрицы сопротивлений B;

Dn – определитель, получившийся из D при замене его элементов к-го столбца соответствующими правыми частями уравнений.

Определим токи на элементах цепи. На первом сопротивлении ток равен контурному току : Ir₁ =8.771 мА.

В первом контуре ток на конденсаторе равен разности токов I₁ и I₂ : Iс₁ = 2.58 мА.

Во втором контуре на элементах R и С будет течь ток равный разности токов I₂ и I₃, и равен Ir₂=Ic₂ =0.329 мА. В третьем контуре ток на R4 равен току на R5 и равен контурному току I₃=6.52 мА .

6. Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы.

Определим контурные токи I₁, I₂, I₃ методом обращения матрицы, принимая во внимание выражение:

где B ^-1 – матрица, обратная матрице B; A- матрица, составленная из правых частей системы уравнений.

В результате значения контурных токов совпадают с расчетами в предыдущем пункте.

Сравним полученные расчеты со значениями в EWB:

Рис.9 – Моделирование сложной электрической цепи в EWB

7.Определение достоверности значения токов на основе закона Кирхгофа

Применим закон Кирхгофа для узла №1:

Применим закон Кирхгофа для узла №2:

8. Определение выражения для комплексного коэффициента передачи

Комплексный коэффициент передачи К схемы с закороченными источниками напряжения, кроме Е₁ , найдём по формуле в соответствии с его определением: K=U_вых / E₁

В соответствии с этим прежде всего необходимо найти выражение для U_вых. Напряжение U_вых произведению тока I3 и сопротивления R5, то есть

Uвых= I3*R5. Вданном этапе значения всех сопротивлений – 1000 Ом, а ёмкость конденсаторов – 1 нФ.

Рис.10 – Направление токов в контурах простой цепи

Определим ток I3. Для этого по методу контурных токов составляем уравнения:

I 1*(R+Z)-I2*Z=E1

I2*(2R+2Z)-I3*(R+Z)-I1*Z=0

I3*(3R+Z)-I2*(R+Z)=0

Определяя из первого уравнения I1 и подставляя его выражение во второе уравнение, находим I2, которое затем подставляем в третье уравнение и из него определяем выражение для I3.

Так, для тока I3 выражение будет иметь вид:

Тогда Uвых будет иметь вид:

Выражение для комплексного коэффициента передачи K выглядит как:

Конечное выражение для K имеет вид: