§ 5.8. Энергия электрического поля.

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора. Он связан с перемещением свободных электронов с одной обкладки на другую. Обкладка, с которой забирают свободные электроны, приобретает избыточный положительный заряд. Другая обкладка, куда добавляются свободные электроны, заряжается отрицательно. Уже первая порция заряда создает в конденсаторе электрическое поле, и перенос каждой новой порции заряда происходит против действующих на них сил. Работа этих сил отрицательная: dA=-Udq, и она идет на приращение потенциальной энергии зарядов в электростатическом поле: dW=Udq. Пользуясь формулой dq=CdU, получаем dW=UCdU. Интегрируя это выражение, находим: . Учитывая, что q=CU, получаем формулы энергии заряженного конденсатора:

W= (5.8.1)

Рассматривая процесс зарядки уединенного проводника подобным образом, получим для его энергии формулы:

W= (5.8.2)

Заряд проводника складывается из суммы точечных зарядов на его поверхности: q=q_i. Все эти заряды находятся в точках поля с одинаковыми потенциалами  _i =. Получаем, что энергия системы точечных зарядов равна:

W= q_i_I (5.8.3)

Здесь q_i.- точечный заряд с номером i, _i – потенциал поля, созданного всеми остальными зарядами системы в точке, где находится заряд q_i.

Заряды создают в пространстве электрическое поле. Можно считать, что энергия сосредоточена в объеме поля с объемной плотностью w=W/V, где V- объем электрического поля. Выразим объемную плотность энергии электрического поля w_E через его силовую характеристику – напряженность Е. Для этого рассмотрим однородное поле, в нем энергия равномерно распределена по объему. Таким является поле плоского конденсатора. Учитывая, что в плоском конденсаторе E= /₀, =q/S, U=Ed, С=₀S/d, V=Sd, получаем:

w_E = (5.8.4)

Формула (5.8.4) применима не только к однородному, но и к любому электростатическому полю. Если поле Е=Е(x,y,z) известно в каждой точке, то интегрированием можно найти энергию в любой части его объема: W= .

1 Отметим, что масса не является релятивистски инвариантной, при движении масса тела увеличивается согласно формуле: . Здесь m-масса тела, движущегося со скоростью v, m₀ –масса покоя, c- скорость света в вакууме.

2 Выражение в скобках указывает последовательность математических действий и в математике называется оператором. Данный оператор в каждой точке скалярной функции ставит в соответствие вектор (в нашем случае это  и ). Он называется градиентом и обозначается grad. Отметим, что градиент – вектор, указывающий направление наибыстрейшего возрастания скалярной функции, его модуль равен производной от скалярной функции по этому направлению.

3 Для этого воспользуйтесь формулой (5.2.8), выбрав перемещение dl по эквипотенциальной поверхности, тогда разность потенциалов равна нулю, следовательно, проекция вектора напряженности на направление перемещения тоже равна нулю. А когда проекция вектора на ось равнее нулю?

4 Кофе и молоко - две разные жидкости. Налитые в один стакан, они образуют новую жидкость. Это и есть действие принципа суперпозиции.

5 Радиальной называют прямую, проходящую через центр сферы.

6 Вспомните соответствующую лекционную демонстрацию: легкий металлический трилистник с заостренными отогнутыми в вертикальной плоскости концами насажен на вертикальную ось. Он начинает крутиться, будучи соединенным проводком с работающей электрофорной машиной – образуется «электрический ветер».