Порядок выполнения работы.

Для функции построить интерполяционный многочлен Лагранжа на отрезке [1; 1,2 ] по системе 3-х и 5-и равноотстоящих точек и вычислить его значения на отрезке [1; 1,2 ] с шагом х = 0,01. Оценить в этих точках погрешность расчета, вычислить точные значения функции f(x) и определить фактическую погрешность.

Вид расчетного рабочего листа MS Excel представленghtlcnfdkty представлен на рисункеи а на отрезке формулы в каждой точке этого отрезка оценивается неравенством:

0000000 на рисунке.

1. Перед началом вычислений необходимо вычислить максимальные производные функции f(x) 3-го и 5-го порядков на отрезке[1; 1,2 ]. Так как и , а функции гиперболического синуса и косинуса являются возрастающими функциями на отрезке [1; 1,2 ], то:

,

Тогда погрешности интерполяционных формул будут равны:

,

.

2. Выполним вычисления для интерполяционного многочлена Лагранжа 2-й степени. В диапазоне A2:D3 определяем узловые точки. Для 3-х равноотстоящих узлов абсциссы равны x₀ = 1; x₁ = 1,1; x₂ = 1,2 (ячейки В2:D2), ординаты узловых точек вычисляем с помощью встроенной функции табличного процессора MS Excel: ячейка В3 = "=SINH(2*B2)" и протягиваем формулу в диапазон C3:D3.

Оформляем таблицу расчета. В диапазоне A5:H5 располагаем заголовки столбцов. В диапазон А6:А26 вводим значения аргумента с х = 1 до х = 1,2 через х = 0,01: ячейка А6 ="1", А7 ="1.01" и протягиваем диапазон А6:А7 до ячейки А26. Вычисляем 1-ое слагаемое формулы Лагранжа по формуле : ячейка В6 = "=$B$3*(A6-$C$2)*(A6-$D$2)/($B$2-$C$2)/($B$2-$D$2)". Вычисляем 2-ое слагаемое формулы Лагранжа по формуле : ячейка С6="=$C$3*(A6-$B$2)*(A6-$D$2)/($C$2-$B$2)/($C$2-$D$2)". Вычисляем 3-е слагаемое формулы Лагранжа по формуле : ячейка D6 = "=$D$3*(A6-$B$2)*(A6-$C$2)/($D$2-$B$2)/($D$2-$C$2)". Вычисляем интерполяционный многочлен Лагранжа по формуле : ячейка Е6= "=СУММ(B6:D6)". Оцениваем погрешность вычислений по формуле d₂ (x) = 7,4093|(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)|: ячейка F6 = "=7.4093*ABS((A6-$B$2)*(A6-$C$2)*(A6-$D$2))". Вычисляем точное значение функции f(x) = sh 2x с помощью встроенной функции табличного процессора MS Excel: ячейка G6 = "=SINH(2*A6)". Вычисляем фактическое отклонение значения интерполяционного многочлена Лагранжа от точного значения функции по формуле d_ф = | L(x) – f(x) | : ячейка Н6 = "=ABS(E6-G6)". Протягиваем диапазон В6:Н6 до 26-й строки. Вычисления для интерполяционного многочлена Лагранжа 2-й степени закончены.

3. Выполним вычисления для интерполяционного многочлена Лагранжа 4-й степени. В диапазоне A28:F29 определяем узловые точки. Для 5-и равноотстоящих узлов абсциссы равны x₀ = 1; x₁ = 1,05; x₂ = 1,1; x₃ = 1,15; x₄ = 1,2 (ячейки В28:F28), ординаты узловых точек вычисляем с помощью встроенной функции табличного процессора MS Excel: ячейка В29 = "=SINH(2*B28)" и протягиваем формулу в диапазон C29:F29.

Оформляем таблицу расчета. В диапазоне A31:J31 располагаем заголовки столбцов. В диапазон А32:А52 вводим значения аргумента с х = 1 до х = 1,2 через х = 0,01: ячейка А32 ="1", А33 ="1.01" и протягиваем диапазон А32:А33 до ячейки А52. Вычисляем 1-ое слагаемое формулы Лагранжа по формуле : ячейка В32 = "=$B$29*(A32-$C$28)*(A32-$D$28)*(A32-$E$28)*(A32-F$28)/($B$28 -$C$28)/($B$28-$D$28)/($B$28-$E$28)/($B$28-$F$28)". Вычисляем 2-ое слагаемое формулы Лагранжа по формуле : ячейка С32 = "=$C$29*(A32-$B$28)*(A32-$D$28)*(A32-$E$28)*(A32-$F$28)/($C$28-$B$28) /($C$28-$D$28)/($C$28-$E$28)/($C$28-$F$28)". Вычисляем 3-е слагаемое формулы Лагранжа по формуле : ячейка D32 = "=$D$29*(A32-$B$28)*(A32-$C$28)*(A32-$E$28)*(A32-$F$28)/($D$28-$B$28)/($D$28-$C$28)/($D$28-$E$28)/($D$28-$F$28)". Вычисляем 4-е слагаемое формулы Лагранжа по формуле : ячейка Е32 = "=$E$29*(A32-$B$28)*(A32-$C$28)*(A32-$D$28)*(A32-$F$28)/($E$28-$B$28)/($E$28-$C$28)/($E$28-$D$28)/($E$28-$F$28)". Вычисляем 5-е слагаемое формулы Лагранжа по формуле : ячейка F32 = "=$F$29*(A32-$B$28)*(A32-$C$28)*(A32-$D$28)*(A32-$E$28)/($F$28-$B$28)/($F$28-$C$28)/($F$28-$D$28)/($F$28-$E$28)". Вычисляем интерполяционный многочлен Лагранжа по формуле : ячейка G32= "=СУММ(B32:F32)". Оцениваем погрешность вычислений по формуле d₄(x) = 1.4818|(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)(x-x₄)|: ячейка Н32 = "=1.4818 *ABS((A32-$B$28)*(A32-$C$28)*(A32-$D$28)*(A32-$E$28)*(A32 -$F$28))". Вычисляем точное значение функции f(x) = sh 2x с помощью встроенной функции табличного процессора MS Excel: ячейка I32 = "=SINH(2*A32)". Вычисляем фактическое отклонение значения интерполяционного многочлена Лагранжа от точного значения функции по формуле d_ф = | L(x) – f(x) | : ячейка J32 = "=ABS(G32-I32)". Протягиваем диапазон В32:J32 до 52-й строки. Вычисления для интерполяционного многочлена Лагранжа 4-й степени закончены.