Порядок выполнения работы.

Пример. Результаты эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных x и y :

xi	1	2	3	4	5
yi	7,1	27,8	62,1	110	161

Для семи вариантов аппроксимирующих зависимостей с двумя параметрами  и  методом наименьших квадратов определить их оптимальные значения, вычислить коэффициенты регрессии и оценки уклонения аппроксимирующих зависимостей от экспериментальных точек, на основе чего выбрать лучший вариант эмпирической формулы.

Вид рабочего листа MS Excel представлен на рисунке.

1. Оформим расчет для эмпирической формулы y = x + . Программирование расчетной области проведем, учитывая, что далее эта область будет копироваться для вариантов с преобразованием координат. В данном случае X = x, Y = y,  = k,  = b. В диапазоне А3:А13 располагаем заголовки строк. В диапазоне B3:F3 указываем номера экспериментальных точек, ячейка G3 = "Сумма". В диапазонах Н4:Н6 и Н11:Н13 располагаем названия параметров, получаемых в результате реализации МНК.

В диапазоне B4:F5 размещаем значения экспериментальных точек. Вычисляем преобразованные значения переменной Х = х: ячейка В6 = "=B4" и протягиваем формулу в диапазон C6:F6. Вычисляем преобразованные значения переменной Y = y: ячейка В7 = "=B5" и протягиваем формулу в диапазон C7:F7. Вычисляем значения : ячейка В8 = "=B6^2" и протягиваем формулу в диапазон C8:F8. Вычисляем значения : ячейка В9 = "=B7^2" и протягиваем формулу в диапазон C9:F9. Вычисляем значения : ячейка В10 = "0числяем йаем формулу в диапаения х точек.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=B6*B7" и протягиваем формулу в диапазон C10:F10. Вычисляем суммы всех определенных величин: ячейка G4 = "=СУММ(B4:F4)" и протягиваем формулу в диапазон G5:G10.

Вычисляем коэффициент : ячейка I4 = "=(5*G10-G6*G7)/(5*G8-G6^2)". Вычисляем коэффициент : ячейка I5 = "=(G7-I4*G6)/5". Вычисляем коэффициент регрессии : ячейка I6 = "=(5*G10-G6*G7)/КОРЕНЬ((5*G8-G6^2)*(5*G9-G7^2))". Таким образом, рассчитана линейная регрессия для преобразованных переменных.

Программируем переход к исходным переменным. Вычисляем значение коэффициента  = k исходной эмпирической формулы: ячейка I11 = "=I4". Вычисляем значение коэффициента  = b исходной эмпирической формулы: ячейка I12 = "=I5". Вычисляем прогнозное значения исходной зависимой переменной y_пi = x_i +  : ячейка В11 = "=$I$11*B4+$I$12" и протягиваем формулу в диапазон C11:F11. Вычисляем значения ( y_i – y_пi)²: ячейка В12 = "=(B5-B11)^2" и протягиваем формулу в диапазон C12:F12. Вычисляем значения : ячейка В13 = "=B5^2" и протягиваем формулу в диапазон C13:F13. Вычисляем суммы всех определенных величин протяжкой формулы из ячейки G10 в диапазон G11:G13. Вычисляем оценку уклонения аппроксимирующих зависимостей от экспериментальных точек по формуле : ячейка I13 = "=КОРЕНЬ(G12/G13)". Строим графики заданной функции и рассчитанной по методу наименьших квадратов. Для этого выделяется диапазон A4:F5, при нажатой клавише Ctrl выделяется диапазон A11:F11, с помощью мастера диаграмм строятся графики, используя точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаженными значениями без маркеров, и применяя соответствующее форматирование графиков. Исследование эмпирической формулы y = x +  закончено. Получено уравнение y = 39 x - 43,4 ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d₀ = 0,09749.

2. При исследовании остальных аппроксимирующих формул будем копировать диапазон исследования предшествующей формулы ниже по рабочему листу MS Excel. При этом изменяется содержимое следующих ячеек (адресация дана по диапазону исследования первой функции): заголовок исследуемой функции А2, номер мененыпирической функцииной их формул будем копировать предшествующий диа000000000000000000000000000000000000000 аппроксимирующей зависимости Н13, значения преобразованных переменных X и Y (B6:F6 и B7:F7), коэффициенты  и  исходной эмпирической формулы (I11 и I12), значения исходной эмпирической функции B11:F11. В частных случаях меняются некоторые из этих ячеек. Всегда изменяются заголовки в ячейках А2 и Н13, далее эти изменения не указываются. Также необходимо всегда изменять диапазон исходных данных для графика. Для этого курсор наводится на область диаграммы, нажимается правая кнопка мыши, из раскрывшегося меню выбирается Исходные данные, на вкладке Диапазон данных в окно Диапазон вносится новый диапазон исходных данных. Далее это всегда выполняемое изменение не рассматривается.

3. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A2:I33 копируется в ячейку А34. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной Y = xy: ячейка B39 = "=B36*B37" и протягиваем формулу в диапазон C39:F39. Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В43 = "=$I$43+$I$44/B36" и протягиваем формулу в диапазон C43:F43. Получено уравнение ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d₁ = 0,56208.

4. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A34:I65 копируется в ячейку А67. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной : ячейка B72 = "=1/B70" и протягиваем формулу в диапазон C72:F72. Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В76 = "=1/($I$76*B69+$I$77)" и протягиваем формулу в диапазон C76:F76. Получено уравнение ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d₂ = 1,08032.

5. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A67:I98 копируется в ячейку А100. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной : ячейка B105 = "=B102/B103" и протягиваем формулу в диапазон C105:F105. Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В109 = "=B102/($I$109*B102+$I$110)" и протягиваем формулу в диапазон C109:F109. Получено уравнение ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d₃ = 0,87564.

6. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A100:I131 копируется в ячейку А132. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной : ячейка B137 = "=LN(B135)" и протягиваем формулу в диапазон C137:F137. Изменяем коэффициент : ячейка I141 = "=EXP(I135)". Изменяем коэффициент : ячейка I142 = "=EXP(I134)". Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В141 = "=$I$141*$I$142^B134" и протягиваем формулу в диапазон C141:F141. Получено уравнение ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d₄ = 0,27098.

7. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A132:I163 копируется в ячейку А165. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной X = ln x: ячейка B169 = "=LN(B167)" и протягиваем формулу в диапазон C169:F169. Изменяем формулу преобразованной переменной Y = y : ячейка B170 = "=B168" и протягиваем формулу в диапазон C170:F170. Изменяем коэффициент  = k : ячейка I174 = "=I167". Изменяем коэффициент  = b : ячейка I175 = "=I168". Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В174 = "=$I$174*LN(B167)+$I$175" и протягиваем формулу в диапазон C174:F174. Получено уравнение ; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d₅ = 0,23137.

8. Исследуем формулу . В данном примере диапазон A165:I196 копируется в ячейку А197. При этом делаются следующие изменения. Изменяем формулу преобразованной переменной Y = ln y : ячейка B202 = "=LN(B200)" и протягиваем формулу в диапазон C202:F202. Изменяем коэффициент  = e ^b : ячейка I206 = "=EXP(I200)". Изменяем коэффициент  = k : ячейка I207 = "=I199". Изменяем формулу вычисления исходной эмпирической функции : ячейка В206 = "=$I$206*B199^$I$207" и протягиваем формулу в диапазон C206:F206. Получено уравнение yобладает функция 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000; оценка уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек d₆ = 0,0279.

Наименьшей оценкой уклонения аппроксимирующей зависимости от экспериментальных точек, равной d₆ = 0,0279 , обладает функция .