Варианты.

Найти ряд Фурье функции f(x), представить графические приближения этой функции с помощью тригонометрических многочленов степени n = 15. Оценить погрешность и точность полученных приближений.

1.		2.	, разложить по косинусам
3.	, разложить по косинусам	4.
5.		6.
7.	, разложить по косинусам	8.	, разложить по синусам
9.	,	10.
11.		12.
13.		14.	, разложить по косинусам
15.		16.
17.		18.
19.		20.
21.		22.
23.		24.
25.

Вид расчетного листа MS Exсel для примера 1.

Вид расчетного листа MS Exсel для примера 2.

Лабораторная работа № 9

"Точечное среднеквадратичное приближение функций"

Элементы теории.

Пусть на множестве точек x_i , i = 1, 2, … , m задана функция f(x) и определена система функций g_k(x), k = 1, 2, … . Скалярным произведением функций g_k(x) и g_l(x) на множестве точек x_i , i = 1, 2, … , m называется сумма произведений значений функций, вычисленных во всех точках, то есть

. (1)

Число является нормой функции g_k(x) на множестве точек x_i , i = 1, 2, … , m .

Функции g_k(x) и g_l(x) называются ортогональными на множестве точек, если их скалярное произведение на этом множестве равно нулю, то есть

. (2)

Система функций g_k(x), k = 1, 2, … называется ортогональной x_i , i = 1, 2, … , m , если все функции этой системы попарно ортогональны на этом множестве.

Коэффициенты C₀ , C₁ , … , C_n обобщенного многочлена

(3)

называются коэффициентами Фурье функции f(x) относительно ортогональной системы функций, если они определяются по формулам

(4)

Теорема. Для функции f(x), определенной на множестве x_i , i = 1, 2, … , m, обобщенный многочлен n-ой степени Q_n(x) с коэффициентами Фурье относительно ортогональной на множестве точек системы функций g_k(x) является многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения этой функции, причем квадрат наименьшего среднеквадратичного отклонения определяется соотношением

, (5)

где С_k – коэффициенты Фурье, определяемые по формулам (4).

Оценка погрешности приближения определяется величиной

. (6)

Многочленами Чебышева на множестве точек x_i , i = 1, 2, … , m называются алгебраические многочлены, ортогональные на этом множестве, с нормой , отличной от нуля, и определяемые следующими рекуррентными соотношениями:

(7)

где , (8)

(9)

Многочлен g_m( x ) степени m на множестве точек x_i , i = 1, 2, … , m, полученный по рекуррентным формулам (7)-(9), на этом множестве имеет норму, равную нулю, и не является многочленом Чебышева.