На основании теоремы для функции f(X), интегрируемой с квадратом на отрезке [-l, l], тригонометрическим многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения является тригонометрический многочлен

(6)

где коэффициенты Фурье по системе тригонометрических функций для функции f(x) определяются формулами (2) и имеют вид:

(7)

Среднеквадратичное отклонение аппроксимирующего многочлена от функции f(x), вычисляемое по формуле (3), в данном случае имеет вид:

(8)

Среднеквадратичное отклонение, отнесенное к норме аппроксимируемой функции , характеризует точность приближения и обозначается

(9)

В частном случае, когда f(x) – четная функция на отрезке [-l, l], тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения записывается в виде:

, (10)

где коэффициенты Фурье

(11)

Для нечетной функции f(x) на отрезке [-l, l] тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения записывается в виде:

, (12)

Тригонометрический многочлен (6) с коэффициентами Фурье (7) представляет собой n-ю частичную сумму ряда Фурье, сходящегося к функции f(X) на отрезке [-l, l]:

. (13)

Порядок выполнения лабораторной работы.

Пример 1. Найти ряд Фурье для функции

.

Представить графическое приближение этой функции с помощью тригонометрических многочленов степеней n = 1-5. Оценить погрешности среднеквадратического приближения.

Определяем коэффициенты Фурье:

,

.

.

Вычислим интеграл от квадрата функции f(x) на отрезке [1, -1]:

. (14)

Норма функции f(x) на отрезке [1, -1]:

. (15)

Формулы для вычисления среднеквадратических отклонений аппроксимирующих многочленов перепишем в следующем виде:

, (16)

. (17)

В рассматриваемом примере l = 1.

Оформляем вычисления в рабочем листе MS Exsel. Вид рабочего листа приведен на рисунке. Фиксируем необходимые в расчетах число , интеграл (14) и норму (15) : В2 = "=ПИ() ", D2 = "1.33333", F2 = "1.1547". В диапазоне А3:А7 заполняем столбец заголовков для таблицы расчета коэффициентов Фурье. В диапазоне B3:G3 расположены номера коэффициентов, ячейка В4 = "1.5" (значение коэффициента а₀ ), С4 = "=(COS($B$2*C3)-1)/($B$2*C3)^2" и протяжка формулы на диапазон D4:G4 (ввод формулы ), C5 = "=-1/$B$2/C3" и протяжка формулы на диапазон D5:G5 (ввод формулы ), ячейка С6 = "=КОРЕНЬ(D2-(B4^2/2+C4^2+C5^2))" (формула (16) для ), D6 = "=КОРЕНЬ(C6^2-(D4^2+D5^2))" (формула (17) для ) и протягиваем формулу на диапазон E6:G6 (формула (17) для остальных среднеквадратичных погрешностей ), С7 = "=C6/$F$2" и протягиваем формулу на диапазон D7:G7 (формула (9) для точности приближений аппроксимационных полиномов).

Оформляем таблицу для вычисления значений аппроксимационных многочленов. В диапазоне В9:G9 располагаем заголовки столбцов. В диапазоне В10:В30 размещаем значения аргумента с шагом х = 0,1 на отрезке x  [0, 1]. Будем использовать следующие модификации формул для вычисления значений тригонометрических многочленов (учитывая, что l = 1):

,

.

Ячейка С10="=$B$4/2+($C$4*COS($B$2*B10)+$C$5*SIN($B$2 *B10))" и протяжка формулы в диапазон С10:С30 (ввод многочлена Q₁), ячейка D10="=C10+(D$4*COS(D$3*$B$2*$B10)+D$5*SIN(D$3*$B$2* $B10))" и протяжка формулы в диапазон D10:G30 (ввод многочленов Q_k , k = 15). На исходных данных из диапазона B9:G30 строим графики тригонометрических многочленов с помощью мастера диаграмм, используя точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаженными значениями без маркеров, и применяя соответствующее форматирование. Толстая линия, соответствующая исследуемой функции, нанесена на чертеж от руки с помощью панели инструментов "Рисование".

Отчет к лабораторной работе должен содержать вычисление интегралов для коэффициентов Фурье и нормы заданной функции, таблицы расчета и график, приведенный на расчетом листе MS Excel.

Пример 2. Функцию

разложить в ряд Фурье по синусам. Представить графическое приближение этой функции с помощью тригонометрических многочленов степеней n₁ = 1, n₂ = 3, n₃ = 5. Оценить погрешности среднеквадратического отклонения.

Функцию f(x) доопределим нечетным образом на промежутке [-2, 0] (см. рис.). Полученную функцию f ^*(x) разложим в ряд Фурье:

;

Ряд Фурье функции f ^*(x) имеет вид:

Этот ряд сходится поточечно к функции f(x) на отрезке [0, 2]. Частичные суммы ряда являются многочленами наилучшего приближения функции f(x) на отрезке [0, 2].

,

,

.

Вычислим интеграл от квадрата функции f(x) на отрезке [0, 2]:

.

Норма функции f(x) на отрезке [0, 2]:

.

Найдем погрешность среднеквадратического приближения полиномами Q₁(x), Q₃(x), Q₅(x) по формуле (8):

,

,

.

Тогда оценка точности аппроксимационных многочленов по формуле (9) равна:

.

При аппроксимации функции, заданной на отрезке [0, l], следует изменить формулы (16)-(17) для расчета среднеквадратических отклонений аппроксимирующих многочленов:

, (18)

. (19)

Остальные расчеты выполняются также, как и в примере 1. В данном примере l = 2. Результаты этого расчета в рабочем листе MS Excel приведены на рисунке.