Порядок выполнения лабораторной работы.

Пример. Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса (с числом узлов m = 3), если отрезок интегрирования разбит на n = 2, n = 4, n = 8 равных частей. Определить погрешность результата методом двойного пересчета и сравнить приближенные значения интеграла с точным .

Вид рабочего листа табличного процессора MS Excel приведен на рисунке.

1. Вычисляем точное значение интеграла : ячейка Н1 = "=(EXP(ПИ()/2)+1)/2".

2. Программируем рабочий лист для вычисления интеграла по формуле прямоугольников.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 2 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В3 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 2 (h = (/2)/2=/4): ячейка D3 = "=ПИ()/4". В диапазоне B4:D4 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В4 = "=В3" (начальная точка x₀ ), ячейка С4 = "=B4+$D$3" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С4 в ячейку D4 (x₂ = x₁ + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С5 = "=(B4+C4)/2" ( x_1/2 = (x₀ + x₁)/2 ), протягиваем формулу из С5 в ячейку D5 ( x_3/2 = (x₁ + x₂)/2 ). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С6="=EXP(C5)*SIN(C5)" и протягиваем формулу из С6 в ячейку D6. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (1): ячейка В7 = "=D3*СУММ(C6:D6)". Для рассматриваемого примера J₁ = 2,8020477.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 4 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В8 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 4 (h = (/2)/4=/8): ячейка D8 = "=ПИ()/8". В диапазоне B9:F9 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В9 = "=В8" (начальная точка x₀ ), ячейка С9 = "=B9+$D$8" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С9 в диапазон D9:F9 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С10 = "= (B9+C9)/2" ( x_1/2 = (x₀ + x₁)/2 ), протягиваем формулу из С10 в диапазон D10:F10 ( x_i-1/2 = (x_i-1 + x_i)/2 ). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С11="=EXP(C10)*SIN(C10)" и протягиваем формулу из С11 в диапазон D11:F11. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (1): ячейка В12 = "=D8*СУММ(C11:F11)". Для рассматриваемого примера J₂ = 2,8804203. По формуле (4) при k = 2 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D12 = "=ABS(B7-B12)/3". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F12 = "=ABS(B12-$H$1)".

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 8 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В13 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 8 (h = (/2)/8=/16): ячейка D13= "=ПИ()/16". В диапазоне B14:J14 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В14 = "=В13" (начальная точка x₀ ), ячейка С14 = "=B14+$D$13" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С14 в диапазон D14:J14 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С15 = "= (B14+C14)/2" ( x_1/2 = (x₀ + x₁)/2 ), протягиваем формулу из С15 в диапазон D15:J15 ( x_i-1/2 = (x_i-1 + x_i)/2 ). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С16="=EXP(C15)*SIN(C15)" и протягиваем формулу из С16 в диапазон D16:J16. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (1): ячейка В17 = "=D13*СУММ(C16:J16)". Для рассматриваемого примера J₃ = 2,8990966. По формуле (4) при k = 2 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D12 = "=ABS(B12-B17)/3". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F17= "=ABS(B17-$H$1)".

3. Программируем рабочий лист для вычисления интеграла по формуле трапеций.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 2 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В20 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 2 (h = (/2)/2=/4): ячейка D20 = "=ПИ()/4". В диапазоне B21:D21 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В21 = "=В20" (начальная точка x₀ ), ячейка С21 = "=B21+$D$20" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С21 в ячейку D21 (x₂ = x₁ + h). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B22="=EXP(B21)*SIN(B21)" и протягиваем формулу из B22 в диапазон C22:D22. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (2): ячейка В23 = "=D20*((B22+D22)/2+СУММ(C22))". Для рассматриваемого примера J₁ = 3,1071309.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 4 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В24 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 4 (h = (/2)/4=/8): ячейка D24 = "=ПИ()/8". В диапазоне B25:F25 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В25 = "=В24" (начальная точка x₀ ), ячейка С25 = "=B25+$D$24" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С25 в диапазон D25:F25 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B26="=EXP(B25)*SIN(B25)" и протягиваем формулу из B26 в диапазон C26:F26. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (2): ячейка В27="=D24*((B26+F26)/2+СУММ(C26:E26))". Для рассматриваемого примера J₂ = 2,9545893. По формуле (4) при k = 2 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D27 = "=ABS(B23-B27)/3". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F27 = "=ABS(B27-$H$1)".

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 8 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В28 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 8 (h = (/2)/8=/16): ячейка D28= "=ПИ()/16". В диапазоне B29:J29 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В29 = "=В28" (начальная точка x₀ ), ячейка С29 = "=B29+$D$28" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С29 в диапазон D29:J29 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B30="=EXP(B29)*SIN(B29)" и протягиваем формулу из B30 в диапазон C30:J30. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (2): ячейка В31="=D28*((B30+J30)/2+СУММ(C30:I30))". Для рассматриваемого примера J₃ = 2,9175048. По формуле (4) при k = 2 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D31 = "=ABS(B27-B31)/3". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F31= "=ABS(B31-$H$1)".

3. Программируем рабочий лист для вычисления интеграла по формуле Симпсона.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 2 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В34 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 2 (h = (/2)/2=/4): ячейка D34 = "=ПИ()/4". В диапазоне B35:D35 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В35 = "=В34" (начальная точка x₀ ), ячейка С35 = "=B35+$D$34" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С35 в ячейку D35 (x₂ = x₁ + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С36 = "=(B35+C35)/2" ( x_1/2 = (x₀ + x₁)/2 ), протягиваем формулу из С36 в ячейку D36 ( x_3/2 = (x₁ + x₂)/2 ). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B37="=EXP(B35)*SIN(B35)" и протягиваем формулу из B37 в диапазон C37:D37. Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С38="=EXP(C36)*SIN(C36)" и протягиваем формулу из С38 в ячейку D38. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (3): ячейка В39 = "=D34/6*(B37+D37+4*СУММ(C38:D38)+2*СУММ(C37))". Для рассматриваемого примера J₁ = 2,9037421.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 4 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В40 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 4 (h = (/2)/4=/8): ячейка D40 = "=ПИ()/8". В диапазоне B41:F41 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В41 = "=В40" (начальная точка x₀ ), ячейка С41 = "=B41+$D$40" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С41 в диапазон D41:F41 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С42 = "=(B41+C41)/2" ( x_1/2 = (x₀ + x₁)/2 ), протягиваем формулу из С42 в диапазон D42:F42 ( x_i-1/2 = (x_i-1 + x_i )/2 ). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B43="=EXP(B41)*SIN(B41)" и протягиваем формулу из B43 в диапазон C43:F43. Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С44="=EXP(C42)*SIN(C42)" и протягиваем формулу из С44 в диапазон D44:F44. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (3): ячейка В45="=D40/6*(B43+F43+4*СУММ(C44:F44)+2*СУММ(C43 :E43))". Для рассматриваемого примера J₂ = 2,9051433. По формуле (4) при k = 4 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D45 = "=ABS(B39-B45)/15". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F45 = "= ABS(B45-$H$1)".

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 8 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В46 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 8 (h = (/2)/8=/16): ячейка D46= "=ПИ()/16". В диапазоне B47:J47 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В47 = "=В46" (начальная точка x₀ ), ячейка С47 = "=B47+$D$46" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С47 в диапазон D47:J47 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем координаты серединных точек частей интегрирования: ячейка С48 = "=(B47+C47)/2" ( x_1/2 = (x₀ + x₁)/2 ), протягиваем формулу из С48 в диапазон D48:J48 (x_i-1/2 = (x_i-1 + x_i )/2 ). Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в точках разбиения: ячейка B49="=EXP(B47)*SIN(B47)" и протягиваем формулу из B49 в диапазон C49:J49. Вычисляем значения подынтегральной функции y=e^xsin x в серединных точках частей интегрирования: ячейка С50="=EXP(C48)*SIN(C48)" и протягиваем формулу из С50 в диапазон D50:J50. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (3): ячейка В51="=D46/6*(B49+J49+4*СУММ(C50:J50)+2*СУММ(C49:I49))". Для рассматриваемого примера J₃ = 2,9052327. По формуле (4) при k = 4 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D51 = "=ABS(B45-B51)/15". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F51 = "= ABS(B51-$H$1)".

4. Программируем рабочий лист для вычисления интеграла по формуле Гаусса для m = 3 узлов.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 2 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В54 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 2 (h = (/2)/2=/4): ячейка D54 = "=ПИ()/4". В диапазоне B55:D55 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В55 = "=В54" (начальная точка x₀ ), ячейка С55 = "=B55+$D$54" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С55 в ячейку D55 (x₂ = x₁ + h). Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С57 = "=(B55+C55)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С56 = "=C57-КОРЕНЬ(0,6)*(C55-B55)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С58= "=C57+КОРЕНЬ(0,6)*(C55-B55)/2". В диапазоне С59:С61 вычисляем значение функции y=e^xsin x в узлах первого частичного отрезка: ячейка С59 = " =EXP(C56)*SIN(C56)" и протягиваем формулу в диапазон С60:С61. Вычисляем интегральное слагаемое для первого частичного отрезка : ячейка С62 = "=(C55-B55)/18* (5*C59+8*C60+5*C61)". Протягиваем диапазон С56:С62 в диапазон D56:D62 и получаем в ячейке D62 интегральное слагаемое F₂ для второго частичного отрезка. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (7): ячейка В63 = "=СУММ(C62:D62)". Для рассматриваемого примера J₁ = 2,9052406.

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 4 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В64 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 4 (h = (/2)/4=/8): ячейка D64 = "=ПИ()/8". В диапазоне B65:F65 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В65 = "=В64" (начальная точка x₀ ), ячейка С65 = "=B65+$D$64" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С65 в диапазон D65:F65 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С67 = "=(B65+C65)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С66="=C67-КОРЕНЬ(0,6) *(C65-B65)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С68="=C67+КОРЕНЬ(0,6)*(C65-B65)/2". В диапазоне С69:С71 вычисляем значение функции y=e^xsin x в узлах первого частичного отрезка: ячейка С69="=EXP(C66)*SIN(C66)" и протягиваем формулу в диапазон С70:С71. Вычисляем интегральное слагаемое для первого частичного отрезка : ячейка С72 = "=(C65-B65)/18*(5*C69+8*C70+5*C71)". Протягиваем диапазон С66:С72 в диапазон D66:F72 и получаем в ячейках D72:F72 интегральные слагаемые F₂ – F₄ для остальных частичных отрезков. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (7): ячейка В73= "=СУММ(C72:F72)". Для рассматриваемого примера J₂ = 2,9052387. По формуле (4) при k = 2m = 6 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D73 = "= ABS(B63-B73)/63". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F73 = "= ABS(B73-$H$1)".

Проводим расчет при разбиении отрезка интегрирования на n = 8 частей. Фиксируем левую точку отрезка интегрирования: ячейка В74 = "0". Задаем длину шага интегрирования при n = 8 (h = (/2)/8=/16): ячейка D74= "=ПИ()/16". В диапазоне B75:J75 задаем координаты точек разбиения отрезка интегрирования: ячейка В75 = "=В74" (начальная точка x₀ ), ячейка С75="=B75+$D$74" (x₁ = x₀ + h), протягиваем формулу из С75 в диапазон D75:J75 (x_i = x_i-1 + h). Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С77 = "=(B75+C75)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С76="=C77-КОРЕНЬ(0,6)* (C75-B75)/2". Вычисляем по формуле (6) координату узла : ячейка С78="=C77+КОРЕНЬ(0,6)*(C75-B75)/2". В диапазоне С79:С81 вычисляем значение функции y=e^xsin x в узлах первого частичного отрезка: ячейка С79="=EXP(C76)*SIN(C76)" и протягиваем формулу в диапазон С80:С81. Вычисляем интегральное слагаемое для первого частичного отрезка : ячейка С82="=(C75-B75)/18*(5*C79+8*C80+5*C81)". Протягиваем диапазон С76:С82 в диапазон D76:J82 и получаем в ячейках D82:J82 интегральные слагаемые F₂ – F₈ для остальных частичных отрезков. Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле (7): ячейка В73= "=СУММ(C82:J82)". Для рассматриваемого примера J₃ = 2,9052387. По формуле (4) при k = 2m = 6 оцениваем погрешность численного интегрирования : ячейка D83 = "= ABS(B73-B83)/63". Вычисляем фактическую погрешность : ячейка F83 = "= ABS(B83-$H$1)".