Порядок выполнения лабораторной работы.
Пример.
Функция y
= f(x)
= sh
2x
определена на отрезке [1;
1,2].
Выбрав шаг h=0,05
найти значения производных
и
в узловых точках со вторым порядком
аппроксимации. Оценить погрешность
вычислений. Сравнить результаты с точным
решением.
Вид рабочего листа табличного процессора MS Excel приведен на рисунке.
1. Так как h=0,05 , то задано 5 узловых точек: x0 = 1,0 ; x1 = 1,05 ; x2= 1,1; x3 = 1,15 ; x4 = 1,2.
Перед началом расчетов вычислим необходимые производные функции f(x) = sh 2x:
.
Так как функции гиперболического синуса и гиперболического косинуса являются возрастающими положительными на отрезке [1; 1,2], то оценки погрешностей вычислений при расчете первых и вторых производных равны (учитывая, что максимум производных достигается в точке х=1,2):
,
.
2. В диапазоне А2:А11 размещаем заголовки строк.
3. В диапазон B2:F2 заносим абсциссы узловых точек xi , i =0, … , 4; ячейка В2=”1”, ячейка С2=”1.05” и протягиваем диапазон B2:C2 до ячейки F2. Вычисляем значения функции f(x) = sh 2x в узлах: ячейка В3 = "=SINH(2*B2)" и протягиваем формулу на диапазон С3:F3.
4. Вычисляем значение
первой производной. В узле х0
используем формулу
:
ячейка В4="=(-3*B3+4*C3-D3)/0.1".
В узлах xi
, i=1,
2, 3 используем
формулу
:
ячейка С4
=
"=(-B3+D3)/0.1"
и протягиваем формулу в диапазон D4:E4.
В узле х4
используем формулу
:
ячейка F4="=(D3-4*E3+3*F3)/0.1".
5. Вычисляем значение
второй производной. В узле х0
используем формулу
:
ячейка В5="оройтягиваеи
формулу в диапазон водной. В узле
:
ячейка С5 =
"=(B3-2*C3+D3)/0.0025"
и протягиваем формулу в диапазон D5:E5.
В узле х4
используем формулу
:
ячейка F5="=(-C3+4*D3-5*E3+
2*F3)/0.0025".
6. Вычисляем
погрешности вычислений первой производной.
В узле х0
используем формулу
:
ячейка В6=
"=0.0025*8*COSH(2.4)/3".
В узлах xi
, i=1,
2, 3 используем
формулу
:
ячейка С6 =
"=0.0025*8*COSH(2.4)/6"
и протягиваем формулу в диапазон D6:E6.
В узле х4
используем формулу
:
ячейка F6="=0.0025*8*COSH(2.4)/3".
7. Вычисляем
погрешности вычислений второй производной.
В узле х0
используем формулу
:
ячейка В7=
"=11*0.0025*16*SINH(2.4)/12".
В узлах xi
, i=1,
2, 3 используем
формулу
:
ячейка С7 =
"=0.0025*16*SINH(2.4)/12"
и протягиваем формулу в диапазон D7:E7.
В узле х4
используем формулу
:
ячейка F7=
"=11*0.0025*16*SINH(2.4)/12".
8. Вычисляем
фактические значения первой производной
по формуле
:
ячейка В8 =
"=2*COSH(2*B2)"
и протягиваем формулу в диапазон C8:F8.
Вычисляем фактические значения второй
производной по формуле
:
ячейка В9 =
"=4*SINH(2*B2)"
и протягиваем формулу в диапазон C9:F9.
9. Вычисляем
фактические погрешности вычислений
первой производной по формуле
:
ячейка В10 =
"=ABS(B4-B8)"
и протягиваем формулу в диапазон C10:F10.
Вычисляем фактические погрешности
вычислений второй производной по формуле
:
ячейка В11 =
"=ABS(B5-B9)"
и протягиваем формулу в диапазон C11:F11.
Результаты расчетов показывают, что фактические погрешности вычислений производных меньше их теоретических оценок.