Типовой отчет.
Для функции
построить интерполяционный многочлен
Лагранжа на отрезке [1;
1,2
]
по системе 3-х и 5-и равноотстоящих точек
и вычислить его значения на отрезке [1;
1,2
]
с шагом х
= 0,01. Оценить
в этих точках погрешность расчета,
вычислить точные значения функции f(x)
и определить фактическую погрешность.
1. Функции
гиперболического синуса и косинуса
являются возрастающими функциями на
отрезке [1;
1,2
] и
,
, поэтому максимальные значения
производных 3-го и 5-го порядка достигаются
на правом конце отрезка:
,
Тогда погрешности интерполяционных формул будут равны:
,
.
2. Координаты узловых точек для интерполяционного многочлена Лагранжа 2-го порядка представлены в таблице.
-
xi
1
1.1
1.2
yi
3.62686
4.457105
5.466229
Результаты расчетов представлены в таблице.
x |
y0p0(x) |
y1p1(x) |
y2p2(x) |
L(x) |
d2 |
sh 2x |
dф |
1 |
3.62686 |
0 |
0 |
3.62686 |
0 |
3.62686 |
4.44E-16 |
1.01 |
3.100966 |
0.84685 |
-0.24598 |
3.701835 |
0.001267 |
3.702835 |
0.000999 |
1.02 |
2.611339 |
1.604558 |
-0.4373 |
3.778599 |
0.002134 |
3.78029 |
0.001691 |
1.03 |
2.157982 |
2.273124 |
-0.57395 |
3.857152 |
0.002645 |
3.859258 |
0.002106 |
1.04 |
1.740893 |
2.852547 |
-0.65595 |
3.937493 |
0.002845 |
3.939769 |
0.002277 |
1.05 |
1.360073 |
3.342829 |
-0.68328 |
4.019623 |
0.002778 |
4.021857 |
0.002234 |
1.06 |
1.015521 |
3.743968 |
-0.65595 |
4.103542 |
0.00249 |
4.105553 |
0.002011 |
1.07 |
0.707238 |
4.055966 |
-0.57395 |
4.189249 |
0.002023 |
4.190891 |
0.001642 |
1.08 |
0.435223 |
4.278821 |
-0.4373 |
4.276746 |
0.001423 |
4.277906 |
0.00116 |
1.09 |
0.199477 |
4.412534 |
-0.24598 |
4.366031 |
0.000734 |
4.366632 |
0.000601 |
1.1 |
0 |
4.457105 |
0 |
4.457105 |
0 |
4.457105 |
0 |
1.11 |
-0.16321 |
4.412534 |
0.300643 |
4.549968 |
0.000734 |
4.549361 |
0.000607 |
1.12 |
-0.29015 |
4.278821 |
0.655948 |
4.64462 |
0.001423 |
4.643436 |
0.001183 |
1.13 |
-0.38082 |
4.055966 |
1.065915 |
4.74106 |
0.002023 |
4.739369 |
0.001691 |
1.14 |
-0.43522 |
3.743968 |
1.530544 |
4.839289 |
0.00249 |
4.837198 |
0.002091 |
1.15 |
-0.45336 |
3.342829 |
2.049836 |
4.939307 |
0.002778 |
4.936962 |
0.002345 |
1.16 |
-0.43522 |
2.852547 |
2.62379 |
5.041114 |
0.002845 |
5.0387 |
0.002414 |
1.17 |
-0.38082 |
2.273124 |
3.252406 |
5.14471 |
0.002645 |
5.142454 |
0.002255 |
1.18 |
-0.29015 |
1.604558 |
3.935685 |
5.250094 |
0.002134 |
5.248266 |
0.001828 |
1.19 |
-0.16321 |
0.84685 |
4.673626 |
5.357267 |
0.001267 |
5.356176 |
0.001091 |
1.2 |
0 |
0 |
5.466229 |
5.466229 |
0 |
5.466229 |
0 |
Фактическая погрешность меньше ее теоретической оценки. Отклонение от нуля фактической погрешности при х = 1 объясняется округлением в последнем разряде.
3. Координаты узловых точек для интерполяционного многочлена Лагранжа 4-го порядка представлены в таблице.
-
xi
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1
yi
3.62686
4.021857
4.457105
4.936962
5.466229
3.62686
Результаты расчетов представлены в таблице.
x |
y0p0(x) |
y1p1(x) |
y2p2(x) |
y3p3(x) |
y4p4(x) |
L(x) |
d4 |
sh 2x |
dф |
1 |
3.6269 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
3.6269 |
0 |
3.6269 |
4.441E-16 |
1.01 |
2.3154 |
2.5676 |
-1.8969 |
0.9005 |
-0.1837 |
3.7028 |
1.42E-06 |
3.7028 |
1.135E-06 |
1.02 |
1.3579 |
4.0154 |
-2.5031 |
1.1375 |
-0.2274 |
3.7803 |
1.66E-06 |
3.7803 |
1.335E-06 |
1.03 |
0.6906 |
4.5946 |
-2.1822 |
0.9400 |
-0.1837 |
3.8593 |
1.27E-06 |
3.8593 |
1.022E-06 |
1.04 |
0.2553 |
4.5302 |
-1.2551 |
0.5055 |
-0.0962 |
3.9398 |
6.26E-07 |
3.9398 |
5.053E-07 |
1.05 |
0.0000 |
4.0219 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
4.0219 |
0 |
4.0219 |
8.882E-16 |
1.06 |
-0.1219 |
3.2432 |
1.3478 |
-0.4424 |
0.0787 |
4.1056 |
4.48E-07 |
4.1056 |
3.641E-07 |
1.07 |
-0.1509 |
2.3423 |
2.5958 |
-0.7188 |
0.1224 |
4.1909 |
6.47E-07 |
4.1909 |
5.276E-07 |
1.08 |
-0.1219 |
1.4414 |
3.5942 |
-0.7583 |
0.1224 |
4.2779 |
5.97E-07 |
4.2779 |
4.885E-07 |
1.09 |
-0.0638 |
0.6371 |
4.2360 |
-0.5213 |
0.0787 |
4.3666 |
3.52E-07 |
4.3666 |
2.888E-07 |
1.1 |
0.0000 |
0.0000 |
4.4571 |
0.0000 |
0.0000 |
4.4571 |
0 |
4.4571 |
0 |
1.11 |
0.0522 |
-0.4247 |
4.2360 |
0.7820 |
-0.0962 |
4.5494 |
3.52E-07 |
4.5494 |
2.907E-07 |
1.12 |
0.0812 |
-0.6178 |
3.5942 |
1.7694 |
-0.1837 |
4.6434 |
5.97E-07 |
4.6434 |
4.949E-07 |
1.13 |
0.0812 |
-0.5856 |
2.5958 |
2.8753 |
-0.2274 |
4.7394 |
6.47E-07 |
4.7394 |
5.379E-07 |
1.14 |
0.0522 |
-0.3604 |
1.3478 |
3.9812 |
-0.1837 |
4.8372 |
4.48E-07 |
4.8372 |
3.736E-07 |
1.15 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
4.9370 |
0.0000 |
4.9370 |
0 |
4.9370 |
0 |
1.16 |
-0.0638 |
0.4118 |
-1.2551 |
5.5610 |
0.3848 |
5.0387 |
6.26E-07 |
5.0387 |
5.254E-07 |
1.17 |
-0.1219 |
0.7658 |
-2.1822 |
5.6400 |
1.0408 |
5.1425 |
1.27E-06 |
5.1425 |
1.069E-06 |
1.18 |
-0.1509 |
0.9266 |
-2.5031 |
4.9291 |
2.0466 |
5.2483 |
1.66E-06 |
5.2483 |
1.406E-06 |
1.19 |
-0.1219 |
0.7336 |
-1.8969 |
3.1518 |
3.4896 |
5.3562 |
1.42E-06 |
5.3562 |
1.203E-06 |
1.2 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
0.0000 |
5.4662 |
5.4662 |
0 |
5.4662 |
8.882E-16 |
Фактическая погрешность меньше ее теоретической оценки. Отклонение от нуля фактической погрешности в некоторых узловых точках объясняется округлением в последнем разряде.