10.Стационарные состояния, их временная зависимость. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.
Стационарные состояния – это состояния с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция U=U(x,y,z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Уравнение Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем e-iωt=e-i(E/ħ)t, так что Ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)e-i(E/ħ)t, где Е- полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это выражение в уравнение Шредингера((–ħ2/2m)ΔΨ+U(x,y,z,t)Ψ=iħ(∂Ψ/∂t), где ħ=h/(2π), m –масса частицы, i-мнимая единица, U-потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется
Δ-оператор Лапласа(ΔΨ=∂2Ψ/∂x2+∂2Ψ/∂y2+∂2Ψ/∂z2), Ψ(x,y,z,t)-искомая волновая функция частицы) получим:
разделив
на общий множитель e-i(E/ħ)t
и преобразовав придем к уравнению,
определяющему функцию ψ
Δψ+(2m/ħ2)(E-U)ψ=0-уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это уравнение имеет бесчисленное количество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбираются решения, имеющие физич.смысл. Условия: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Т.о. реальный физич.смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ .
2. максимальная кинетическая энергия электронов после вылета (если нет других потерь) равна: . Следовательно, .
Это уравнение носит название уравнения Эйнштейна.
11.Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Квантование энергии. Плотность вероятности для различных энергетических уровней.
Проведем качественный анализ решений уравнений Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной потенциальной с бесконечно высокими стенками. Такая яма описывается потенциальной энергией вида(частица движется вдоль оси х):
∞,x<0 где l-ширина ямы, а энергия
U(x)0,0≤x≤l отсчитывается от ее дна
∞,x>1
Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишется в виде: (∂2ψ/∂x2)+(2m/ħ2)(E-U)ψ=0. По условию задачи частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами равна 0. На границах ямы вероятность тоже обращается в 0. Следовательно, граничные условия имеют вид ψ(0)=ψ(l)=0. В пределах ямы(0≤х≤l) ур-ние Ш сведется к (∂2ψ/∂x2)+(2m/ħ2)Eψ=0 или (∂2ψ/∂x2)+k2ψ=0, где k2=2mE/ħ2.
Общее решение диф.ур-ния ψ(x)=Asinkx+BcosKx. Т.к. ψ(0)=0, то В=0. Тогда ψ(x)=Asinkx. Условие ψ(l)=Asinkl=0 выполняется только при kl=nπ, где n –целые числа, т.е. необходимо чтобы k=nπ/l
Из всего этого следует что En=(n2π2ħ2)/(2ml2) (n=1,2,3…)
Т.е. стационарное уравнение Ш, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками удовлетворяется только при собственных значениях En, зависящих от целого числа n.
2.
Условие называют условием нормировки волновой функции, а волновую функцию, удовлетворяющую этому условию, называют нормированной волновой функцией.
Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения или условия на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции
12 Частица в трехмерной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Энергетический спектр частицы. Понятие о вырождении энергетических уровней.
Потенциальный
ящик:
G={(x,y,z):0<x<a1,0<y<a2,0<z<a3}.
U(x,y,z)={0:
(x,y,z)G,
:
(x,y,z)G}.
Будем искать
волновую функцию в виде произведения:
(x,y,z)=
1(x)
2(y)
3(z)=>(1/1(x))(d21(x)/dx2)+
(1/2(y))(d22(y)/dy2)+(1/3(z))
(d23(z)/dz2)=-2m0E/ħ2. Первое
слагаемое в левой части зависит только
от x,
а второе - только отy.
Поскольку их сумма равна постоянной
величине, то это означает, что каждое
из слагаемых также представляет собой
постоянную величину. Получаем три
одномерных уравнения: d21(x)/dx2+2m0E11(x)/
ħ2=0,
d22(y)/dy2+2m0E22(y)/
ħ2=0,
d23(z)/dz2+2m0E33(z)/
ħ2=0=>
аналогично
для 2(y)
и 3(z)=>
,
а её энергетический спектр
Энергетический уровень, которому
соответствует не одно, а несколько
состояний частицы, называется вырожденным
уровнем,
а число соответствующих ему состояний
называется кратностью
вырождения
или степенью вырождения уровня.
2. максимальная кинетическая энергия электронов после вылета (если нет других потерь) равна: . Следовательно, .
Это уравнение носит название уравнения Эйнштейна.
13 Движение микрочастицы в области одномерного потенциального порога. Надбарьерное отражение частицы в случае низкого порога.
Потенциальный
порог: U(x)={0:
x<0;
U0,x>0}.
Пусть
E<U0.
Обозначив
и
получим
ур-ние Шредингера в виде d21(x)/dx2+k121=0
и d22(x)/dx2-k222=0.
Решением уравнения являются:
1(x)=A1exp{ik1x}+
B1exp{-ik1x}
и 2(x)=A2exp{k2x}+
B2exp{-k2x}.
Поскольку волновая функция должна быть
ограниченной, а первое слагаемое в
волновой функции 2(x)
при
x,
стремящемся к бесконечности, неограниченно
возрастает, то необходимо потребовать
A2=0.
Из условий
сшивки 1(0)=
2(0)
и 1’(0)=
2’(0)=>
A1+B1=B2
и ik1A1-ik1B1=-k2B2.
A1=1=>B1=(k1-ik2)/(k1+ik2);
B2=2k1/(k1+ik2).=>1(x)=exp{ik1x}+(k1-ik2)/(k1+ik2)exp{-ik1x}
и 2(x)=
2k1/(k1+ik2)exp{-k2x}.
Коэф-т отражения R=|B1|2/|A1|2=1,
коэф-т прохождения D=0.
Пусть
E>U0.
Положим
и
=>
d21(x)/dx2+k121=0
и d22(x)/dx2+k222=0=>
1(x)=
A1exp{ik1x}+B1exp{-ik1x}
и 2(x)=A2exp{ik2x}+
B2exp{-ik2x}.
Поскольку отраженная волна в области
II отсутствует, то B2
=0. Условие
сшивки: A1+B1=A2
и k1A1-k1B1=k2B2.
Полагая A1=1=>
B1=(k1-k2)/(k1+k2);
A2=2k1/(k1+k2)=>
1(x)=exp{ik1x}+(k1-k2)/(k1+k2)exp{-ik1x}
и 2(x)=
2k1/(k1+ik2)exp{ik2x}.
R=|B1|2/|A1|2,
D=|A2|2/|A1|2.
2. максимальная кинетическая энергия электронов после вылета (если нет других потерь) равна: . Следовательно, .
Это уравнение носит название уравнения Эйнштейна.