Примеры решения задач

Задача 1. Два источника тока с э.д.с. Е₁=2 В и Е₂=1,5 В и внутренними сопротивлениями r₁=0,5 Ом и r₂=0,4 Ом включены параллельно сопротивлению R=2 Ом. Определите силу тока через это сопротивление.

Дано	Решение
Е1=2 В	Нарисуем схему и произвольно расставим силы токов. Рис. 1 - Схема
Е2=1,5 В
r1=0,5 Ом
r2=0,4 Ом
R=2 Ом
I-?

Для узла b запишем первое правило Кирхгофа учтя, что токи входящие в узел берутся со знаком плюс, с выходящие со знаком минус.

.

Для контура abefa запишем второе правило Кирхгофа. Предварительно выберем направление обхода контура по часовой стрелке и учтем, что произведение IR входит в уравнение в плюсом, если направление тока на данном участке контура совпадаем с направлением обхода, если - не совпадает, то IR входит в уравнение со знаком минус. Э.д.с. берется с плюсом, если повышает потенциал в направлении обхода контура, и наоборот. Тогда:

.

Для контура abcdefa второе правило Кирхгофа запишется так:

.

Решив три полученных уравнения совместно, найдем искомую силу тока:

.

Подставим численные данные и произведем вычисления.

I=0,775 А.

Ответ: 0,775 А.

Задача 2. Источники тока с электродвижущими силами E₁ и E₂ включены в цепь, как показано на рис. 2. Определить силы токов, текущих в сопротивлениях R₁, R₂ и R₃, если E₁ = 2,1 В; E₂ = 1,9 В; R₁ = 45 Ом; R₂ = 10 Ом; R₃ = 10 Ом. Сопротивлениями источников пренебречь.

Рис..2-Схема электрической цепи

Дано	Решение
Е1=2,1 В	Силы токов в разветвленной цепи определяются с помощью законов Кирхгофа. Чтобы найти три значения силы токов, следует составить три уравнения. Выберем направления токов, как они показаны на рис. 2 и условимся обходить контуры по часовой стрелке. Рассматриваемая задача имеет два узла А и В. Но составлять уравнение по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс, ток, отходящий от узла, – со знаком минус.
Е2=1,9 В
R1 = 45 Ом;
R2 = 10 Ом;
R3 = 10 Ом
I1-?
I2-?
I3-?

Тогда по первому закону Кирхгофа для узла В имеем:

I₃ – I₁ – I₂ = 0. (1)

Недостающие два уравнения получим по второму закону Кирхгофа. Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров. Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:

а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контура, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус;

б) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

По второму правилу Кирхгофа имеем, соответственно для контуров АR₁BR₂A и AR₃BR₁A:

I₂R₂ – I₁R₁ = –E₂, (2)

I₃R₃ + I₁R₁ = E₁. (3)

Подставив в уравнения значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений:

. (4)

Для решения системы удобно воспользоваться методом определителей (детерминантов). С этой целью перепишем уравнения еще раз в следующем виде:

(5)

Искомые значения токов найдем из выражений

I₁ = ₁/; I₂ = ₂/; I₃ = ₃/, (6)

где  – определитель системы уравнений, ₁, ₂, ₃ – определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя  столбцами, составленными из свободных членов трех вышеприведенных уравнений.

(7)

(8)

(9)

(10)

Отсюда получаем: I₁ = 0,04 A, I₂ = –0,01 A, I₃ = 0,03 A.

Знак минус у значения силы тока I₂ свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, направление тока I₂ было указано противоположно истиному. На самом деле ток I₂ течет от узла А к узлу В.

Ответ: I₁ = 0,04 A, I₂ = –0,01 A, I₃ = 0,03 A.

Задача 3. Определить сопротивление цепи аb, схема которой изображена на рис.1, если R₁=R₅=1 Oм, R₂=R₆=2 Ом, R₃=R₇=3 Ом, R₄=R₈=4 Ом.

Рис.1 – Схема разветвленной цепи

Дано	Решение
R1=R5=1 Oм	В данной цепи, состоящей из восьми сопротивлений, нет хотя бы двух элементов, соединенных между собой последовательно или параллельно. Применим к расчету сопротивления цепи правила Кирхгофа. Для этого предположим, что к зажимам цепи ab подключен источник тока. Силу тока в неразветвленной цепи обозначим I. Обозначим токи на всех участках цепи и укажем произвольно их направления (см. рис.1). В данном случае имеется девять неизвестных сил токов I1, I2 ,..I8, I. Чтобы избежать
R2=R6=2 Ом
R3=R7=3 Ом
R4=R8=4 Ом
R-?

громоздких вычислений, связанных с решением системы из девяти уравнений, которую мы получим, применив правила Кирхгофа, воспользуемся следующим обстоятельством. Из условия задачи видно, что данная цепь обладает симметрией с центром в точке О. Если отсоединить цепь в точках a и b от источника, повернуть на 180⁰ и снова соединить с источником, то в силу данных в условии равенств она совместиться со своим первоначальным положением. Но теперь в резисторе R₅ течет ток, который раньше был в резисторе R₁. Перемена же знаков напряжения на зажимах цепи не может вызвать изменения силы тока ни на одном участке цепи. Значит и раньше в резисторах R₅ и R₁ были токи одинаковой силы, т.е. I₁=I₅. Аналогично можно показать, что в данной цепи выполняются равенства: I₂=I₆, I₃=I₇, I₄=I₈. Таким образом, в задаче фактически имеется лишь пять различных неизвестных токов: I₁, I₂, I₃, I₄, I.

По первому правилу Кирхгофа с учетом того, что I₂=I₆, I₄=I₈, получим соответственно для узлов а, b и d:

, (1)

, (2)

. (3)

Недостающие два уравнения получим на основании второго правила Кирхгофа. Выбрав направление обхода контуров по часовой стрелке, запишем, например, для контуров acdbEa и acea соответственно:

; (4)

. (5)

Подставив в (1)-(5) числовые значения сопротивлений из условия задачи м решив систему из пяти уравнений с пятью неизвестными силами токов относительно тока I, получим

. (6)

С другой стороны, используя закон Ома можно записать:

. (7)

Приравняв выражения (6) и (7), и, сократив на E, найдем искомое сопротивление:

Ом = 3,5 Ом.

Ответ: 3,5 Ом.