Задача № 4

У торгового агента имеется пять адресов потенциальных покупателей, к которым он обращается с предложением приобрести реализуемый его фирмой товар. Вероятность согласия потенциальных покупателей оценивается соответственно как 0,5; 0,4; 0,4; 0,3; 0,25. Агент обращается к ним в указанном порядке до тех пор, пока кто-нибудь не согласится приобрести товар.

Составить закон распределения случайной величины – числа покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение.

Дискретная случайная величина – число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту – имеет следующие возможные значения: , , , , , (если ни один из указанных пяти потенциальных покупателей так и не согласится купить товар).

Найдём вероятности , , , , , этих возможных значений.

Х
Р

Искомый закон распределения дискретной случайной величины , соответственно,

будет иметь вид:

Пусть – событие, которое заключается в том, что -ый потенциальный покупатель согласен купить товар.

По условию ; ; ; ; .

Событие , противоположное событию , состоит в том, что -ый потенциальный покупатель не согласен купить товар.

; ;

; ;

.

Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае появления события . Поэтому, .

Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае совместного появления событий и . Поэтому, учитывая независимость событий и , по теореме умножения вероятностей получаем:

.

Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае совместного появления событий , и . Поэтому, учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:

.

Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае совместного появления событий , , и . Поэтому, учитывая независимость событий , , и , по теореме умножения вероятностей получаем:

.

Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае совместного появления событий , , , и . Поэтому, учитывая независимость событий , , , и , по теореме умножения вероятностей получаем:

.

Число покупателей, к которым придётся обратиться торговому агенту, только в случае совместного появления событий , , , и . Поэтому, учитывая независимость событий , , , и , по теореме умножения вероятностей получаем:

.

Сумма вероятностей

.

Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины

Х	1	2	3	4	5	6
Р	0,5	0,2	0,12	0,054	0,0315	0,0945

имеет вид:

Найдём математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Математическое ожидание дискретной случайной величины :

.

Дисперсия дискретной случайной величины :

, где .

, значит

.

Х	1	2	3	4	5	6
Р	0,5	0,2	0,12	0,054	0,0315	0,0945

Ответ: ;

; .