Задача № 4
Независимые
случайные величины
и
заданы законами распределения:
|
-1 |
4 |
|
0,3 |
? |
|
-2 |
0 |
3 |
|
0,1 |
0,4 |
? |
: :
Найти
вероятности
и
.
Составить закон распределения случайной
величины
и проверить свойство математического
ожидания
.
Решение.
1) Воспользуемся тем, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.
Для случайной величины
:
;
;
;
.
|
-1 |
4 |
|
0,3 |
0,7 |
.
Закон распределения случайной величины имеет вид: .
Для случайной величины
:
;
;
;
;
.
|
-2 |
0 |
3 |
|
0,1 |
0,4 |
0,5 |
.
Закон распределения случайной величины имеет вид: .
2) Найдём закон распределения случайной величины .
Разностью (соответственно суммой,
произведением) случайных величин
и
называется случайная величина, которая
принимает все возможные значения вида
(соответственно
,
),
где
,
,
с вероятностями
того, что случайная величина
примет значение
,
а
– значение
:
.
Если случайные величины
и
независимы, то по теореме умножения
вероятностей независимых событий
.
Для удобства нахождения всех значений случайной величины и их вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом верхнем углу значения случайной величины , а в правом нижнем углу – вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин и (в нашем случае случайные величины и независимы).
|
|
|
0 |
3 |
|
|
0,1 |
0,4 |
0,5 |
|
0,3 |
0,03 |
0,12 |
0,15 |
4 |
0,7 |
8
0,07 |
24
0,28 |
48
0,35 |
Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:
-
8
24
48
0,15
0,12
0,03
0,07
0,28
0,35
Убеждаемся в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1.
Действительно,
.