По Гейне

Число называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности точек множества задания этой функции, все элементы которой отличны от , соответствующая числовая последовательность значений функции сходится к числу .

 

По Коши

Число называется пределом функции в точке , если для

 

53. Определение предела функции многих переменных на бесконечности

 

Число называется пределом функции при , если для

 

54-55. Критерий Коши существования предела функции многих переменных в точке (на бесконечности)

 

Для того чтобы функция имела конечный предел в точке (при ), необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла в точке (при ) условию Коши.

 

Будем говорить, что функция многих переменных удовлетворяет условию Коши в точке (при ),

Если для

( ): .

 

56. Определение непрерывной функции многих переменных

 

По Гейне

Функция назваться непрерывной в точке , если для любой сходящейся к последовательности точек множества задания этой функции, соответствующая числовая последовательность значений функции сходится к числу .

По Коши

Функция назваться непрерывной в точке , если для

 

57. Определение равномерно непрерывной функции многих переменных

 

Функция назваться равномерно непрерывной на множестве евклидова пространства

, если для .

 

58. Теорема Кантора для функции многих переменных

 

Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на этом множестве.

 

60. Теорема о постоянстве знака непрерывной функции многих переменных

 

Если функция определена в окрестности точки и непрерывна в точке евклидова пространства и если , то существует такая -окрестность точки , в пределах которой не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком .

 

61. Теорема о прохождении непрерывной функции многих переменных через промежуточные значения

 

Пусть функция непрерывна во всех точках связного множества евклидова пространства , причем и - значения этой функции в точках и этого множества. Пусть, далее, -любое число, заключенное между и . Тогда на любой непрерывной кривой , соединяющей точки и и целиком располагающейся в , найдется точка , такая, что .

 

62.Теорема Вейерштрассе для функций многих переменных

 

Первая теорема

Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то она ограничена на этом множестве.

 

Вторая теорема

Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве ,то она достигает на этом множестве своих точных нижней и верхней граней.

 

63. Определение частной производной функции многих переменных

Если существует предел соотношения частного приращения функции в точке к соответствующему приращению аргумента при , то это предел называется частной производной функции в точке по аргументу и обозначается символом . Таким образом

 

64. Определение дифференцируемой функции многих переменных

Функция называется дифференцируемой в данной точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

  ,

где - некоторые независящие от числа, а – бесконечно малые при функции, равные нулю при .

65. Определение дифференциала функции многих переменных

Дифференциалом дифференцируемой в точке функции называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения функции в точке . Если все коэффициенты в представлении приращения дифференцируемой функции равны нулю, то дифференциал функции в точке считается равным нулю.

 

66. Определение кратного дифференциала функции многих переменных

Значение дифференциала от -го дифференциала , взятое при называется –м дифференциалом функции ( в данной точке ) и обозначается символом .

67. Формула для производной сложной функции многих переменных

Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная функция , где определяются соотношениями , дифференцируема в точке . При этом частные производные этой сложной функции в точке определяются формулами , в которых все частные производные берутся в точке , а все частные производные функций по аргументам берутся в точке .