Решение типовых примеров.

Найти неопределённые интегралы. Проверить результат дифференцированием (в одном из примеров).

а) б)

в) г)

д) е)

Решение.

а)

=

б)

в)

Нужно использовать формулу интегрирования по частям:

Для этого обозначим тогда

Тогда, применяя формулу интегрирования по частям, получим

г)

д)

Использована формула: . е)

Проверим результат интегрирования в примере д) дифференцированием:

Получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл нашли верно.

Задачи и примеры Часть 4

В задачах 1  4 найти с помощью определённых интегралов

1) Площадь плоской фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью ОХ;

2) Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ данной плоской фигуры.

1.

2.

3.

4.

Решение типовых примеров

Пример 1. Найти с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой прямой и осью OX ( рис.3 ).

Решение. Сделаем чертёж: в осях ХОУ построим параболу и прямую и заштрихуем искомую площадь, расположенную в первом квадранте. Затем найдём абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого приравняем правые части уравнений параболы и прямой и решим полученное квадратное уравнение или Корни этого уравнения Первому квадранту соответствует корень

Найдём абсциссу точки пересечения прямой с осью ОХ Решим уравнение , откуда

Искомая площадь фигуры где площадь фигуры, ограниченной данной параболой , вертикальной прямой и осью ОХ ; площадь фигуры, ограниченной вертикальной прямой данной прямой и осью ОХ . Вычислим искомые площади:

(кв.ед.)

(кв.ед.)

Общая площадь (кв.ед.)

Пример 2. Найти с помощью определённого интеграла объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой прямой и осью ОХ (рис.3).

Решение. Можно считать, что тело вращения ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси ОХ , а при поверхностью, образованной вращением прямой вокруг оси ОХ .

Таким образом, общий объём тела вращения будет складываться из двух объёмов:

Вычислим эти объёмы по формулам:

(куб.ед.)

Для вычисления этого интеграла используем метод замены переменной.

Пусть Тогда или отсюда Определим новые пределы интегрирования, соответствующие переменной : при а при

(куб.ед.)

(куб.ед.)

Рис. 3

Ответ : площадь плоской фигуры (кв. ед.),

объём тела вращения (куб. ед.)

С О Д Е Р Ж А Н И Е