III уровень

3.1. В правильной треугольной призме проведено сечение через сторону основания и середину противоположного бокового ребра. Площадь основания равна 18 см², а диагональ боковой грани наклонена к основанию под углом 60. Найдите площадь сечения.

3.2. В основании призмы лежит квадрат ABCD, все вершины которого равноудалены от вершины A₁ верхнего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60. Сторона основания – 12 см. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину C, перпендикулярно ребру AA₁, и найдите его площадь.

3.3. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция. Площадь диагонального сечения и площади параллельных боковых граней соответственно равны 320 см², 176 см² и 336 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

3.4. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 9 см², площади боковых граней 18 см², 20 см² и 34 см². Найдите объем призмы.

3.5. Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда, зная, что диагонали его граней равны 11 см, 19 см и 20 см.

3.6. Углы, образованные диагональю основания прямоугольного параллелепипеда со стороной основания и диагональю параллелепипеда, равны соответственно  и . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его диагональ равна d.

3.7. Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна см². Найдите площадь поверхности куба.

3.8. Измерения одного прямоугольного параллелепипеда относятся как 3 : 5 : 6, а измерения второго – как 3 : 6 : 7. Зная, что их площади полных поверхностей относятся как 7 : 9, найдите отношения объемов.

3.9. Основанием наклонного параллелепипеда является ромб со стороной, равной b, и углом 60. Боковое ребро также равно b и образует с прилежащими сторонами основания углы по 45. Найдите объем параллелепипеда.

ПИРАМИДЫ

I уровень

1.1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно диагонали основания, длина которой  см. Найдите высоту пирамиды и сторону ее основания.

1.2. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60º. Найдите высоту пирамиды.

1.3. Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды, зная, что апофема равна 10 см, а радиус окружности, описанной около основания, равен 6 см.

1.4. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, сторона которой 6 см, если ее объем равен объему куба со стороной 4 см.

1.5. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны b. Найдите объем пирамиды.

1.6. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 8 см и 4 см. Боковое ребро равно  см. Найдите высоту пирамиды.

1.7. Боковые ребра правильной усеченной шестиугольной пирамиды наклонены к плоскости нижнего основания под углом 45º. Стороны оснований равны 10 см и 5 см. Найдите длину бокового ребра и высоту пирамиды.

1.8. Боковая грань правильной семиугольной усеченной пирамиды – равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 13 см, а высота – 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

1.9. Площадь полной поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды равна  см². Стороны оснований – 10 см и 6 см. Найдите тангенс угла между боковым ребром и стороной нижнего основания.

1.10. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 5 см и 17 см, боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45º. Вычислите объем пирамиды.