Министерство образования и науки РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

“ЛЭТИ”

кафедра МОЭВМ

Лабораторная работа №10 по дисциплине вычислительная математика

на тему:

«Интерполяционные формулы для равноотстоящих узлов».

г. Санкт-Петербург

2007. год

I. Цель работы:

Необходимо разработать программу, обеспечивающую вычисление значения функции в заданных точках с использованием подходящих для каждого конкретного случая интерполяционных формул.

Используя подходящую интерполяционную формулу, вычислить в точках x1,x2,x3 значения функции, заданной таблицей, для узлов с равноотстоящим шагом.

x1 = 1.3020;

x2 = 1.5690;

x3 = 1.8350

X[ 0] = 0.3120	Y[ 0] = -0.3060
X[ 1] = 0.4990	Y[ 1] = -0.0760
X[ 2] = 0.6870	Y[ 2] = 0.0180
X[ 3] = 0.8740	Y[ 3] = 0.0150
X[ 4] = 1.0620	Y[ 4] = -0.0440
X[ 5] = 1.2490	Y[ 5] = -0.1210
X[ 6] = 1.4370	Y[ 6] = -0.1770
X[ 7] = 1.6240	Y[ 7] = -0.1720
X[ 8] = 1.8120	Y[ 8] = -0.0650
X[ 9] = 1.9990	Y[ 9] = 0.1800
X[10] = 2.1870	Y[10] = 0.6080

II. Общие сведения:

Пусть величина является функцией аргумента. Это означает, что любому значениюиз области определения поставлено в соответствие значение. Однако на практике часто неизвестна связь междуи, т. е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости. В других случаях при известной зависимостиее использование в практических задачах затруднительно (например, она содержит сложные, трудно вычисляемые выражения).

Наиболее распространенным и важным для практического использования случаем, когда вид связи между параметрами инеизвестен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы, в которой дискретному множеству значений аргументапоставлено в соответствие множество значений функции. Эти значения – либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике могут понадобиться значения величиныи в других точках, отличных от узлов. Таким образом, приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления искомого параметрапри любом значении (из некоторой области) определяющего параметра, поскольку точная связьнеизвестна.

Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию требуется аппроксимировать (приближенно заменить) некоторой функциейтак, чтобы отклонение (в некотором смысле)отв заданной области было наименьшим. Функцияпри этом называется аппроксимирующей.

Для практики важен случай аппроксимации функции многочленом

(1.1)

Этот случай, т. е. приближение многочленами, является одной из задач классического численного анализа. Рассмотрим аппроксимацию этого рода и методы ее реализации в вычислительных процедурах на ЭВМ. Коэффициенты в процедурах подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование, которое заключается в следующем: для данной функциистроится многочлен (1.1), принимающий в заданных точкахте же значения, что и функция, т. е.

(1.2)

При данной постановке задачи предполагается, что среди значений нет одинаковых:при. Точкиназываются узлами интерполяции, а многочлен- интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит, таким образом, в том, что их значения совпадают на заданной системе точек (узлов).

Максимальная степень интерполяционного многочлена . В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен

(1.3)

используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента. Коэффициентымногочлена (1.3) находят из системы уравнений (1.2). Можно показать, что при() эта система имеет единственное решение.

Возможны два случая задания функции :

- точки располагаются на оси абсцисс неравномерно на различных расстояниях одна от другой - случай неравноотстоящих узлов;

- точки располагаются на оси абсцисс равномерно с фиксированным шагом - случай равноотстоящих узлов.

Если значения функции заданы в точках

с постоянным положительным шагом, то часто используется интерполяционный многочлен Ньютона для интерполяции вперед

, (1.10)

где , а конечные разности, носящие названия нисходящих разностей, находят из соотношений

,

.

Интерполяционный многочлен (1.10) удобно использовать при работе в начале таблицы значений функции и для экстраполяции левее точки .

Интерполяционный многочлен с узлами где, имеет вид

(1.11)

и называется интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции назад. Его удобно использовать при интерполяции в конце таблицы и для экстраполяции правее точки . Входящие в выражение (1.11) значения конечных восходящих разностей находят из соотношений

,

..............................................

.

Если при заданном в таблице значений функциис шагомимеется достаточное число узлов с каждой стороны от, то целесообразно узлы интерполяциивыбрать так, чтобы точкаоказалась как можно ближе к середине минимального отрезка, содержащего узлы. При этом обычно в качествеберется ближайший кузел, затем запринимается ближайший кузел, расположенный с противоположной отстороны, чем. Следующие узлы назначаются поочередно с разных сторон оти должны быть расположены как можно ближе к. Одной из возможных схем интерполяции в этом случае является схема Стирлинга с интерполяционным многочленом вида

В этом выражении учитывается, что дано нечетное число значений функции, где. Обычно эту формулу целесообразно использовать при.