11 Корреляционный и регрессионный анализы

ДВУХМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

СУЩНОСТЬ ДВУМЕРНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

При моделировании геологических объектов и процессов возникает необходимость изучения не одного какого-либо свойства, а одновременно нескольких свойств. Например, при разведке тел полезных ископаемых в каждой горной выработке или скважине одновременно определяют мощность залежи, элементы ее залегания, содержание полезных и вредных компонентов, технические и технологические свойства вмещающих пород и руд (объемную массу, влажность, пористость, крепость, обогатимость) и т.д.

В одних случаях изучаемые свойства геологических объектов проявляются независимо друг от друга, а в других между ними могут быть выявлены более или менее отчетливые взаимосвязи. Например, на железорудных месторождениях устойчиво проявляется прямая связь между магнитной восприимчивостью руды и содержанием в ней железа, а на полиметаллических месторождениях - прямая связь между содержаниями свинца и цинка и т.д.

Изучение таких взаимосвязей имеет большое значение для познания сущности геологических процессов. Для этого применяются такие статистические модели, где используется не одна (как в одномерных моделях), а несколько переменных. По количеству изучаемых переменных такие модели делятся на двухмерные и многомерные.

Двухмерной называется модель, где объект исследования рассматривается как совокупность двух случайных величин U и V, т.е. как двухмерная статистическая совокупность. Между величинами U и V могут проявляться вероятностные или корреляционные связи и зависимости, которые принципиально отличаются от функциональных связей и зависимостей.

Функциональными называется такие зависимости, когда фиксированному значению величины U, принятой за аргумент, соответствует строго определенное значение другой величины V, принятой за функцию (рис.1, 2).

Корреляционными называется такие зависимости, когда фиксированному значению одной случайной величины U, принятой за аргумент, соответствует ряд распределения другой случайной величины V, принятой за функцию, причем с изменением значений U закономерно изменяются центры (математические ожидания) этих распределений (рис.3).

Рис.1. Рис.2. Рис.3. Рис.4.

Ряд распределения величины V, соответствующий фиксированному значению величины U, называется условным распределением. Каждый такой ряд имеет свой центр, называемый центром условного распределения. Он характеризуется своим математическим ожиданием (на рис.3: , , и т.д.), и своей дисперсией , которая называется условной дисперсией. Линия, соединяющая центры условных распределений , называется линией регрессии, а уравнение этой линии – уравнением регрессии V=f(U) (читается регрессия V по U).

Точно так же каждому значению другой величины V соответствует не строго определенное значение величины U, а ряд распределения U с условными математическими ожиданиями и условными дисперсиями . Геометрическое место центров условных распределений будет соответствовать второй линии регрессии U=f(V), т.е. регрессии U по V (рис.4). Таким образом, системе из двух случайных величин всегда будут соответствовать две линии регрессии. Для изучения корреляционных связей и зависимостей в двумерных совокупностях проводятся корреляционный и регрессионный анализы.