2. Метод замены переменной

Этот метод называют также методом подстановки. Он является одним из наиболее эффектных и распространенных примеров интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисления интеграла.

Пусть требуется найти интеграл

первообразная которого неизвестна, но известно что она существует. В этом случае можно попытаться сделать такую замену переменной, чтобы интеграл стая табличным. Для обоснования такого подхода к интегрированию рассмотрим теорему.

Пример 1. Найти .

Пример 2. Найти интеграл .

Пример 3. Найти интеграл

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря, изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.

3. Метод интегрирования по частям

Пусть функции и непрерывно дифференцируемые на некотором интервале. Имеет место тождество: .

Известно, что дифференциал произведения двух функций u(x), v(x) вычисляются по формуле:

d (uv) = udv + vdu

Интегрируя обе части, получим формулу интегрирования по частям или

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Пример 1. Найти интеграл

Пример 2. Вычислить интеграл .

4. Интегрирование рациональных выражений Дробно-рационалъные функции.

Определение 1.Функция вида ,

где , , a₀,a₁,..._ta_n любые числа, называется целой рациональной функцией.

Определение 2. Функция являющаяся частным двух целых рациональных функций называется дробно-рациональной функцией

R(x) =

Если т<n, дробь называется правильной, если т>n дробь называется неправильной.

Пусть n< m дробь неправильная, тогда разделив числитель на знаменатель, получим

,

где М(х) – многочлен, а - правильная дробь.

Пример 1. Представить неправильную дробно- рациональное выражение в виде правильной дроби.

Раздел . Интегральное исчисление

1. Определённый интеграл Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

Многие задачи естествознания и техники получили решение благодаря одному из основных понятий математического анализа - определенному интегралу. Нахождение площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, пути, скорости, моментов инерции и т.д., сводится к его вычислению. Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Задача о площади криволинейной трапеции. Дана плоская фигура, ограниченная графиком функции и отрезками прямых . Функция определена, непрерывна и неотрицательна в промежутке . Вычислить площадь S полученной фигуры , называется криволинейной трапецией.