Смешанные системы счисления

Смешанной называется такая система счисления, в которой числа, заданные в некоторой системе счисления с основанием P изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием Q, где Q<P. В такой системе P называется старшим основанием, Q — младшим основанием, а сама система счисления называется Q-P-ичной. Для того, чтобы запись числа в смешанной системе счисления была однозначной, для представления любой P-ичной цифры отводится одно и то же количество Q-ичных разрядов, достаточное для представления любого базисного числа P-ичной системы.

Так, в двоично-десятичной системе для изображения каждой цифры отводится 4 двоичных разряда. Например, число 925₁₀ запишется в двоично-десятичной системе как 1001 0010 0101. Здесь последовательные четверки (тетрады) двоичных разрядов изображают цифры 9, 2 и 5 десятичной записи соответственно.

Следует отметить, что, хотя в двоично-десятичной записи используются только цифры «0» и «1», эта запись отличается от двоичного изображения данного числа. Например, двоичный код 1001 0010 0101 соответствует десятичному числу 2341, а не 925.

Особого внимания заслуживает случай, когда P=Q^l (l – целое положительное число). В этом случае запись какого-либо числа в смешанной системе счисления тождественно совпадает с изображением этого числа в системе счисления с основанием Q: A2₁₆ = 1010 0010₂.

1. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Задача перевода заключается в следующем: Пусть известна запись числа x в системе счисления с каким-либо основанием P:

,

где p_i – цифры P-ичной системы . Требуется найти запись этого числа x в системе счисления с основанием Q:

,

где q_i – искомые цифры Q-ичной системы .

Для перевода любого числа достаточно отдельно перевести его целую и дробную части.

Перевод целых чисел.

Представим число x в Q-ичной системе в виде полинома

(1)

Для определения в поставленной задаче разделим обе части равенства (1) на Q, причем в левой части произведем фактическое деление, поскольку запись числа x в P-ичной системе нам известна, а в правой части деление выполним аналитически:

. (2)

Таким образом, младший коэффициент в разложении (1) является остатком от деления x на Q. Число является целым, и к нему тоже можно применить описанную процедуру:

, (3)

а – остаток от деления (3).

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получено x_s+1=0. Для записи числа x в Q-ичной системе счисления запишем каждый из полученных коэффициентов одной Q-ичной цифрой.

Пример 1: Перевести число 47₁₀ в двоичную систему счисления (Q = 2).

Искомое число 47₁₀ = 101111₂.

Пример 2: Перевести число 3060₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления (Q = 16).

Таким образом, =4₁₀ = 4₁₆, =15₁₀ = F₁₆, =11₁₀ = B₁₆. Искомое число 3060₁₀ = BF4₁₆.

Перевод дробных чисел

Пусть необходимо перевести в Q-ичную систему правильную дробь x (0<x<1), заданную в P-ичной системе счисления.

Поскольку x<1, то в Q-ичной системе запись числа x будет иметь вид

(4)

Умножив обе части выражения (4) на Q, получим

,

где является целой частью, а – правильная дробь. Искомые коэффициенты могут быть определены по формуле

,

где [ ] – целая часть. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено , либо не будет достигнута требуемая точность числа.

Пример 3: Перевести число 0,25₁₀ в двоичную систему счисления

Искомое число x = 0,25₁₀ = 0,01₂.