Бесконечные ряды

Бесконечный ряд из комплексных величинu₁(z) + u₂(z) +. . .+ u_n(z) + . . = = наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей этих величин . Суммой ряда наз. предел последовательности частичных сумм S_n =, т.е. S(z) = lim S_n при . Областью сходимости степенного ряда является круг радиусаR с центром в точке z₀ : | z – z₀ | < R (Теорема Абеля). Радиус сходимости R = =lim приn. Для степенного ряда с отрицательными степенями область сходимости это вся плоскость за исключением круга радиусаr с центром в z₀ : |z – z₀| > r . Действительно, замена переменных z* = (z – z₀)^-1 даст переход к ряду с положительными степенями и радиусом сходимости r. Тогда из условия | z*| < r|z – z₀ | < 1/r или | z – z₀ | > r. Если r < R , то общей областью сходимости рядов двух типов будет кольцо r < | z – z₀ | < R . Ряды с отрицательными степенями определяют свойства функции вблизи точки разрыва.

Степени n > 0 Степени n < 0 Степени n > 0 и n < 0

Внутри области сходимости D сумма степенного ряда S(z) является аналитической функцией. Поэтому возможен и обратный переход от f(z) к бесконечному ряду. Совершим его.

Выделим точку z₀ в пределах области определения аналитической функции f(z) и представим f(z₀) через значения этой функции на некотором контуре L по формуле Коши

f(z₀) = ( 39 )

Множитель 1/(z – z₀) разложим в ряд по формуле геометрической прогрессии

1/ (1 – q) = q^{n -1} , |q| < 1

и проверим ряд на абсолютную сходимость. Возможны два варианта.

a)==;

b)==; где . Здесь а фиксированная точка, z₀ произвольная точка области D. Ряд (а) абсолютно сходится при | z₀ –a| < |z – a|, a ряд (b) при | z₀ –a| > |z – a|.

Рассмотрим случай области сходимости в виде круга радиуса R с центром в точке а. В качестве контура интегрирования по переменной z в ( 39 )

возьмем окружность L₁ радиуса R₁ < R с центром в точке а и точкой z₀ в ее пределах. Тогда | z₀ – a| < | z – a| и ряд (а) окажется равномерно сходящимся относительно z₀ .Заменим в ( 39 ) множитель 1/ (z – z₀) на разложение ряда (а) и почленно проинтегрируем с учетом ( 40 )

f(z₀) = = ( z₀– a)ⁿ = = ( z₀ – a)ⁿ

т.е. значение f(z) в любой точке круга | z – a | < R , где f(z) аналитическая функция, представляется рядом Тейлора

f(z) = f(a) + (z – a) + (z – a)² + (z – a)³ + . . . ( 41 )

Пр. Разложить в ряд Тейлора по степеням (z – i) функцию f(z) = z⁵ .

Решение. f(z) = z⁵ , f(i) = i f ```(z) = 60 z<sup>2</sup> , f ```(i) = - 60

f `(z) = 5 z<sup>4</sup> , f `(i) = 5 f⁽⁴⁾(z) = 120z , f⁽⁴⁾(i) = 120i

f ``(z) = 20 z<sup>3</sup>, f ``(i) =-20 i f⁽⁵⁾(z) = 120 , f⁽⁵⁾(i) = 120

f⁽⁶⁾(z) = 0

f(z) = i + 5(z – i) - 10i(z – i)² - 10(z – i)³ + 5i(z – i)⁴ + (z – i)⁵

Рядом Тейлора функции f(z) = z⁵ по (z – i) является многочлен 5 степени.

Пр. Разложить в ряд Тейлора по степеням z – (1 - ) функциюf(z) = ch(1 – z) . Пусть а (1 - ) .

Решение. f (z) = ch(1 – z) f(a) = ch() =cos() = 0

f `(z) = - sh(1 – z) f `(a) = - sh() = -i sin() = –i

f ``(z) = ch(1 – z) f ``(a) = 0

f ```(z) = - sh(1 – z) f ```(a) = – i

Остаются только нечетные степени разложения с общим множителем – i

f(z) = – i [ (z – 1 + ) + (z – 1 + )³ + (z – 1 + )⁵ + . . . ]