Теорема Коши для односвязной области

Если f(z) аналитическая функция в односвязной области D , то интеграл f(z) dz зависит только от положения конечных точек А и В кривой L и не зависит от формы кривой, или интеграл по замкнутой кривой всегда равен нулю.

f(z) dz = 0 ( 34 )

Доказательство. От криволинейного интеграла по замкнутому контуру на плоскости всегда можно перейти к двойному интегралу по области, ограниченной этим контуром по формуле Грина

P(x,y) dx + Q(x,y) dy = .

если функции и их производные непрерывны в области D. В нашем случае

u dx – v dy = - ; v dx + u dy = ,

но частные производные от аналитической функции f(z) удовлетворяют условиям Коши – Римана ,, которые обращают эти интегралы в ноль.

Неопределенный интеграл от фкп

Рассмотрим выражение F(z) = f()d, гдеf() – аналитическая функция в областиD , а точки z₀ и z соединяет произвольная гладкая кривая L . Функция F(z) , удовлетворяет равенству

F`(z) = f(z) ( 35 )

Действительно, при h 0

F`(z) = lim = lim= lim=

= f(z) + lim = f(z)

В ближайшей окрестности точки z функция отличается от f(z) на бесконечно малую (h) более высокого порядка, чем h .

Т.к. F(z) имеет производную, то она является аналитической и наз. первообразной для f(z). Её значение зависит от выбора точки z₀ и она определяется с точностью до константы.

Опр. Совокупность всех первообразных ФКП f(z) наз. неопределенным интегралом

f(z) dz = F(z) + C ( 36 )

Правила вычисления интегралов по комплексным и действительным переменным совпадают.

Основная теорема интегрального исчисления

Интеграл от функции f(z) , аналитической в D, равен приращению её первообразной функции, при переходе из начальной в конечную точку пути интегрирования

f(z) dz = F(b) – F(a) ( 37 )

Действительно, интеграл f()d=F(z) + C дает первообразную с точностью до константы. Пусть z z₀ и контур замыкается. Тогда по теореме Коши F(z₀) + C = 0 или C = –F(z₀) .

Вычислим теперь предыдущий Пр. по формуле ( 37 ):

= (1 – i z)dz = (z – iz²/2)|₁^-i = –i –1 – i/2(–1 –1) = –1 .

Пр. Вычислить , если прямая АВ соединяет точки z_А =1, z_B = i

= z²dz = 1/3 z³ |₁ⁱ = –1/3 (1 + i )

Интегральная формула Коши

Опр. Точка z₀ наз. изолированной особой точкой для функции , если функция аналитична в ближайшей окрестностиz₀ за исключением самой точки.

Рассмотрим простейший случай такой функции =f(z)/(z - z₀). Пусть изолированная особая точка z₀ расположена внутри замкнутого контура L. Это означает, что для область, охваченная контуромL , является многозначной и к ней не применима теорема Коши ( 34 ). К теореме Коши приводит формула Грина, которая справедлива только для функций непрерывных в области охваченной контуром L. Однако, от такой многозначной области легко перейти к однозначной, если исключить точку разрыва. Совершим такой переход.

Вокруг выделенной точки z₀ проведем окружность радиусаи соединим её прямойАВ с замкнутым контуром L. Контур

L*₊ = AB +_- + BA + L₊ , охватывает кольцевую область, где функция f(z)/( z - z₀) аналитична. Знак показывает направление обхода. По теореме Коши ( 34 ) и свойствам ( 31 ) имеем

= ––+= 0 ,

т.е. интеграл по внешнему контуру кольцевой области равен интегралу по внутреннему контуру того же направления

= ( 38 )

Вычислим его =+=J₁ + J₂

J₁ = f(z₀) ==i f(z₀)= 2i f(z₀)

В J₂ приращение функции заменим на модуль его максимального значения |f(z)– f(z₀)| , тогдаJ₂ < || = 2. Т.к. радиуспроизволен, то при0 и0, т.е.J₂ = 0. Отсюда следует интегральная формула Коши

f(z₀) = , ( 39 )

которая дает явный вид зависимости функции от z₀ и выражает значение аналитической функции в любой точке z₀ внутри области определения через её значения на произвольном контуре, окаймляющем точку.

Продифференцируем ( 39 ) по z₀ n раз и получим

f⁽ⁿ⁾( z₀) = ( 40 )

Эта формула дает интегральное представление производных аналитической функции и показывает, что они бесконечное число раз дифференцируемы.