Конформное отображение

Дана аналитическая функция w = f(z) , которая сопоставляет точкам области D точки области W. Выберем в D две близко расположенные точки m и m₁ . Им соответствуют точки М и М₁ в W. Отрезки mm₁ и MM₁ соединяют z с z +z и w с w + w . Этим векторам соответствуют КЧ z и w .

Отношение модулей векторов равно . Перейдем к

пределу m₁ m lim = lim =|f `(z)| (z 0)

т.е. модуль производной показывает во сколько раз длина отрезка в окрестности точки z больше длины отображения этого отрезка.

Пусть m₁ приближается к m вдоль линии l . Тогда соответствующее движение М₁ к М пойдет по линии L . Аргумент КЧ z определяет угол между вектором mm₁ и осью Ох , а аргумент w между вектором ММ₁ и осью Ou. Разность этих аргументов определит угол между векторами mm₁ и ММ₁ , причем, разность аргументов равна аргументу частного

arg w - arg z = arg, ()

При m₁ m секущие mm₁ и ММ₁ становятся касательными и предел

lim arg=arg f `(z) (z 0)

определит угол между касательной к l в точке z и касательной к L в точке w, т.е. arg f `(z) дает угол поворота прямой в точке z в результате преобразования f(z). Этот угол не зависит от параметров линии. Поэтому, при прохождении через точку z двух линий l и l₁ под углом их отображенияL и L₁ будут пересекаться под тем же углом .

Сохранение угла приводит к тому, что бесконечно малый треугольник в окрестности точки z отображается в подобный треугольник в плоскости w, т.е. его стороны изменяют длины в отношении |f `(z)| :1 и поворачиваются на угол arg f `(z) . Это свойство подобия следует из факта существования производной, т.е. аналитичности функции f(z).

Опр. Конформным ( подобным ) отображением наз. отображение с помощью аналитической функции.

Пр. При помощи функции w = z³ отобразить на плоскость uOv линию y = x .

Решение.w = (x+ iy)³ = x³ + 3x²iy + 3x(iy)² + (iy)³ = (x³ -3xy²) + (3x²y – y³) i , т.е. u = x³ – 3xy² , v = 3x²y – y³ . Определим значение этих координат для точек линии y = x : u = – 2x³ , v = 2x³, т.е. v = – u . Это биссектриса 2 и 4 квадранта.

Пр. При помощи функции w = 2z +1 отобразить на плоскость uOv окружность x² + y² = 1.

Решение. Имеем w = 2(x+ iy) + 1 = (2x + 1) + 2yi , т.е. u = (2x + 1) , v = 2y . Находим обратное преобразование координат x = (u – 1)/2 , y = v/2 и делаем замену переменных в уравнении окружности [(u – 1)/2]² + [v/2]² = 1 (u – 1)² + v² = 4 . Отображение есть окружность с радиусом 2 и центром в точке (1;0).

Криволинейный интеграл от фкп

По аналогии с определенным интегралом f(x)dx методом интегральной суммы введем интеграл для аналитической ФКП f(z). Интегрировать будем не вдоль оси Ох , а вдоль произвольной кривой L , соединяющей точки z₀ и z комплексной плоскости.

1.РазделимL на n участков точками z₁, z₂, . . ., z_n= z.

2. На каждом отрезке z_{i – 1} z_i длины z_i = z_i – z_{i -1} выделим точку p_i и составим произведения f(p_i) z_i

3. Построим интегральную сумму f(p_i) z_i .

4. Переход к пределу при условии |z|0 даст КЧ.

lim f(p_i) z_i = f(z) dz = J ( 29 )

Опр. Криволинейным интегралом от ФКП f(z) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения L на малые участки.

В общем случае КЧ J зависит от f(z), формы кривой L и существует для непрерывных и ограниченных функций и гладких кривых L . Кривая наз. гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Выделим Re и Im части в J. Т.к. f(z) = u(x,y) + i v(x,y), dz= dx + i dy, то

J =f(z) dz = u dx – v dy + iv dx + u dy ( 30 )

т.е. J распадается на криволинейные интегралы от действительных переменных и сохраняет их общие свойства

1⁰ f(z)dz = - f(z)dz, 2⁰ f(z)dz =f(z)dz +f(z)dz ( 31 )

где K – промежуточная точка дуги АВ , и другие свойства. Соотношение ( 30 ) – определяющее свойство интеграла от ФКП.

Криволинейные интегралы вычисляют путем перехода к определенным интегралам. Если L задана в явной форме y = y(x) , a < x < b , то

P(x,y) dx + Q(x,y) dy = { P(x,y(x)) + y`(x) Q(x,y(x))} dx ( 32 )

При выполнении условия имеем полный дифференциалP dx + Q dy = dU(x,y) и dU(x,y) = U(b, y(b)) - U(a, y(a)), т.е. значение интеграла не зависит от формы кривой.

При параметрическом задании L : z = z(t) , имеем

=f(z(t)) z`(t)dt =Re [f(z(t))z`(t)]dt + iIm [f(z(t))z`(t)] dt ( 33 )

Пр. Вычислить интеграл , где f(z) = (y +1) – xi, прямая АВ соединяет точки z_A = 1 , z_B = –i .

Решение. Имеемu = y + 1 , v = – x . Уравнение прямой y = x – 1 и dy = dx. По формулам ( 30 ) и ( 32 ) имеем

=+ i=

= [(x –1 +1) – (-x)] dx + i[(-x) + (x –1 +1) ] dx = - 1.