Производная фкп

Опр. Производная однозначной ФКП w = f(z) есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента

lim = при ( 20 )

Выбор кривой для процесса произволен. У разных функций значение производной может зависеть или не зависеть от этого выбора.

Опр. ФКП w = u(x,y) + i v(x,y) наз. дифференцируемой в точке z , если её частные производные первого порядка от u(x,y), v(x,y) непрерывны и значение производной в точке z не зависит от выбора кривой для процесса .

Требование независимости значения производной от выбора кривой для процесса приводит к зависимости между частными производными – условиям Коши – Римана

, ( 21 )

Доказательство. Процесс определяют два процессаи. Отношение бесконечно малыхh(х) может быть различным в разных точках окрестности z . Перейдем к главной части приращений: илиg(x) - уравнение траектории сближения двух точек. Представим отношение =как функцию отh и определим условие обращения этой функции в константу. Заменим вна дифференциалы и затем перейдем к пределу

du = u`<sub>x</sub> dx + u`_y dy , dv = v`<sub>x</sub>dx + v`_ydy

= =

Независимость производной от h выполняется при условии B = i A или u`<sub>y</sub> + iv`_y = i(u`<sub>x</sub> + iv`_x) , что и приводит к равенствам ( 21 ).

Поскольку частные производные связаны между собой, то выражение для полной производной ФКП имеет разные формы

= А ===( 22 )

Опр. ФКП w = f(z) наз. аналитической в области D , если она дифференцируема в каждой точке области.

Пр. Проверим аналитичность функции w = z* по формулам ( 20 ) и (21). Пусть движение от точки z +z к точке z идет по кривой y = g(x). Тогда при

lim = lim = lim =

т.е. предел отношения приращений функции и аргумента зависит от выбора кривой. Имеем u = x , v = - y . Тогда u`<sub>x</sub> = 1, v`_y = - 1 , т.е. условия Коши – Римана ( 20 ) для w = z* не выполняются функция не аналитическая.

Внешний признак аналитической функции:

ФКП w = u(x,y) + i v(x,y) является аналитической, за исключением отдельных точек, если х, у входят в неё только в комбинации x + i y.

Покажем, что это требование эквивалентно условию Коши – Римана.

Заменим в w(x,y) x на z – iy и продифференцируем по у

= +i [] =

= -i+i [] =

При выполнении условий Коши – Римана получаем , т.е. функцияw не зависит от у , а только от z . Т.о., замена в функции действительной переменной f(x) аргумента х на z приводит к аналитической функции f(z).

Пр. Функция w = x + 2i y = z + iy не аналитическая, а функция w = x² – y² + 2ixy = z² - аналитическая.

Вычислим производные от нескольких элементарных функций.

1) w = z² . Т.к. u = x² – y², v = 2xy, то==

= = 2x + i2y = 2z.

Аналогично доказывается общая формула = n z^{n - 1} ( 23 )

2) w = e^z . Т.к. по ( 11 ) e^z = e^x (cos y + i sin y) , то = = = e^x (cos y + i sin y) = e^z.

Производная от экспоненты равна самой функции =e^z ( 24 )

3) w = sin z. Т.к. по ( 12 ) sin z = sin x ch y + i cos x sh y, то c учетом ( 13 )

= = cos x ch y - i sin x sh y = cos z ( 25 )

4) w = ln z . Т.к. по ( 16 ) ln z = ln () +i [ arctg() ] ,то

==+ i== ( 26 )

Аналогично вычисляются следующие производные

( cos z )` = - sin z , ( sh z )` = ch z , ( ch z )` = sh z ,

( arcsin z )` = , (arcosz )` = , ( arctgz )` = ( 27 )

Таким образом, производные от основных элементарных функций от действительных и комплексных переменных полностью совпадают. Правила дифференцирования также сохраняются, т.к. они следуют из общих свойств пределов. (Производная от суммы функций равна сумме производных и т.д.)

Продифференцируем первое уравнение из ( 21 ) по х , второе по у и сложим их

, ( 28 )

В результате получаем уравнение Лапласа для u и аналогичным образом для v , т.е. мнимая и действительная части всякой аналитической функции являются функциями гармоническими. Их общее свойство: изменение функции вдоль Ох и вдоль Оу идет с одинаковым по модулю ускорением. Но не всякое сочетание двух гармонических функций образует аналитическую функцию. Функции u и v должны быть сопряженными, т.е. связанными условиями Коши-Римана. Зная u можно построить v и наоборот.

Пр. Дана действительная часть функции u = x³– 3xy² + 1. Найти f(z),

Функция u(x,y) должна быть гармонической, т.е. 6x = -(-6x).

Решение. Вычислим =( x³– 3xy² + 1) = - 6xy . Заменим по условию Коши-Римана на - . Проинтегрируем дифференциальное уравнение = 6xy dv = 6xy dx v(x,y) = 3yx² + h(y), где h(y) - произвольная функция у. Вычислим = 3x² + h`(y) . Заменим по условию Коши –Римана на : = 3x<sup>2</sup> + h`(y), но = (x³– 3xy²+ 1) = 3x² – 3y².

Сравнение производных дает h`(y) = – 3y² или dh = – 3y²dy h(y) = - y³ + C или v(x,y) = 3yx² – y³ + C .

Ответ. f(z) = (x³–3xy²+ 1) + i(3yx²– y³) + C = (x + iy)³ + 1 + C = z³ + C