Элементарные функции комплексной переменной

Основные элементарные функции для КП подлежат переопределению. Наиболее просто вводится степенная функция по формуле Моавра

z ⁿ = (x + i y)ⁿ = r ⁿ ( cos n +i sin n )

т.е. Re z ⁿ = r ⁿ cos n,Im z ⁿ = r ⁿ sin n,r = , argz ⁿ = n.

Опр. Функции e^z, sin z, cos z, sh z, ch z определяются как суммы степенных рядов

e^z = 1 + z + ( 1 )

sin z = z - ( 2 )

cos z = 1 - ( 3 )

sh z = = z + ( 4 )

ch z = = 1 + ( 5 )

Эти ряды абсолютно сходятся на всей комплексной плоскости, т.к. сходятся ряды из | z |. Это функции нового типа, например, если функции sin x соответствует синусоида, то функции 2 переменных sin z = sin z(x,y) – некоторая поверхность.

Cравнение рядов дает простые соотношения для функций. Заменим в ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) z на iz . Тогда из ( 1 ) получаем формулу Эйлера (1743 г.)

e ^iz = 1 + i z - = cos z + i sin z ( 6 )

а в ( 2 ) и ( 3 ) все слагаемые примут положительный знак и получим

cos iz = ch z , sin iz = i sh z ( 7 )

Соотношения ( 7 ) после замены z на iz принимают вид

ch iz = cos z , sh iz = i sin z ( 8 )

Для КП справедливы формулы

,

sin(z₁ + z₂) = sin z₁ cos z₂ + cos z₁ sin z₂ ( 9 )

cos(z₁ + z₂) = cos z₁ cos z₂ - sin z₁ sin z₂

Для гиперболических функций имеются соотношения аналогичные ( 9 ) и основное тождество ch²z - sh²z = 1 ( 10 )

Определим свойства функций ( 1 ) - ( 5 ) .

Функция e^z e^z = e^{x + i y} = e^x e^{i y} = e^x ( cos y + i sin y ) ( 11 )

т.е. Re e^z = e^x cos y , Im e^z = e^x sin y , | e^z | = e^x , y – аргумент, его главное значение arg e^z = y + 2k, где целое число k определяется условием - < y + 2k < . При перемещении вдоль мнимой оси функция e^z периодическая, период 2i ,

Функция sin z Используем формулы ( 9 ), ( 7 ), ( 10 )

sin z = sin(x+ iy) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x ch y + icos x sh y ( 12 )

т.е. Re sin z = sin x ch y , Im sin z = cos x sh y , arg sin z = arctg [ ctg x th y],

|sin z|=[sin²xch²y +cos²xsh²y ]^1/2 = [sin²x(1+sh²y) + cos²x sh²y]^1/2=

При перемещении вдоль действительной оси функция sin z периодическая, период 2.

Функция cos z Используем формулы ( 9 ), ( 7 ), ( 10 )

cos z = cos(x+ i y) = cos x cos iy - sin x sin iy = cos x ch y - i sin x sh y ( 13 )

т.е. Re cos z = cos x ch y, Im cos z = - sin x sh y , arg cos z = arctg [- tg x th y ],

|cos z| = [cos²x ch²y + sin²x sh²y ]^1/2 = .При перемещении вдоль действительной оси функция cos z периодическая, период 2.

Функция sh z Используем формулы ( 9* ), ( 8 ), ( 10 )

sh z = sh(x + i y) = sh x ch iy + ch x sh iy = sh x cos y + i ch x sin y ( 14 )

т.е. Re sh z = sh x cos y , Im sh z = ch x sin y , arg sh z = arctg [ ctg x th y ],

|sh z| = [sh²x cos²y + ch²x sin²y ]^1/2 = .При перемещении вдоль мнимой оси функция sh z периодическая, период 2i .

Функция ch z Используем формулы ( 9* ), ( 8 ), ( 10 )

ch z = ch(x + i y) = ch x ch iy + sh x sh iy = ch x cos y + i sh x sin y ( 15 )

т.е. Re ch z = ch x cos y , Im ch z = sh x sin y , arg ch z = arctg [ th x tg y ],

|ch z| = [ch²x cos²y + sh²x sin²y ]^1/2 = .При перемещении вдоль мнимой оси функция ch z периодическая, период 2i .

Функции tg z, ctg z, sh z, ch z определяют формулы

Функция ln z Натуральный логарифм числа z = r( cos + i sin ) есть КЧ (x + i y), удовлетворяющее равенству e^{x + i y} = r ( cos + i sin ) или e^x (cos y + i sin y) = r (cos + i sin ) e^x = r или x = ln r, y =+ 2k, т.е.

Ln [r(cos +i sin)] = lnr + i(+2k) ,k = 0,1,2, . . .( 16 )

Логарифм КЧ равен логарифму его модуля плюсi , умноженное на одно из значений аргумента. Это многозначная функция. При k = 0 имеем главное значение логарифма ln z.

Пр. Вычислить Ln(-2). Имеем r = 2, = +2k.

ln(-2) = ln 2 + i. Проверка = 2= -2 .

Общая показательная функция a^z = e^{z ln a} ( 17 )

также является многозначной.

Пр. Вычислить (1+i)ⁱ. Имеем r=2,=/3+2k.

(1+i)ⁱ= ==

= =(cos ln2 +isin ln2)

Функция arcsin z Прямую функцию z = sin w = умножим на 2i e^{i w} и получим квадратное уравнение e^{2i w} - 2i e^{i w} - 1 = 0. Его решение e^{i w} = iz + прологарифмируем и получим

w = arcsin z = -i ln(iz + ) ( 18 )

Аналогично получаем : arccos z = -i ln(z +), arctg z =( 19 )