Ряды с кч

Рассмотрим ряд (a) с общим членом z_n = x_n + i y_n . Он разделяется на два ряда с действительными числами и. Из сходимости этих рядов следует сходимость исходного ряда. Составим ряд(b) из модулей |z_n| = . Т.к. |x_n| < r_n , |y_n| < r_n , то из сходимости ряда (b) по признаку сравнения следует сходимость рядов и, что обеспечиваетабсолютную сходимость ряда (a). Т.о., ряд с КЧ абсолютно сходится, если сходится ряд из модулей этих КЧ.

Рассмотрим степенной ряд (с), где a_n - КЧ, z = x + iy. Составим ряд из модулей , гдеA_n = |a_n| , r = |z|. По теореме Абеля такой ряд сходится в интервале -R < r < R . Следовательно, степной ряд (с) сходится для z из круга радиуса R : |z| < R.

Определение функции комплексной переменной

Опр. Комплексной функцией комплексной переменной (ФКП) наз. правило соответствия между элементами двух множеств, когда каждому значению переменной z = x + iy из множества D сопоставляется одно или несколько значений w= u + iv из множества W. D – область определения, W – область значений функции w = f(z).

Функция наз. однозначной, если каждому значению z ставится в соответствие одно значение w и многозначной в ином случае.

Если w = u + i v есть функция от z = x + i y , то u и v являются действительными функциями от х, у, и наоборот, всякое выражение w = u(x,y) + i v(x,y) есть ФКП от z = x + iy. ФКП w = u(x,y) + i v(x,y) имеет условную запись w = f(z) , которая не означает, что функция зависит от х и у только в комбинации x + i y. Пр. Выражение x + 2i y является функцией переменной z = x + i y.

Функция наз. ограниченной, если ее модуль |w|=не превосходит некоторого конечного числа. Предел функции lim f(z) = a при z z₀ складывается из пределов функций u(x,y), v(x,y) при (x,y) (x₀,y₀). Функция f(z) непрерывна в точке z , если функции u(x,y), v(x,y) непрерывны в этой точке.

Пр. Дана функцияw = z² + z .

Найти её значение при z = 1 + i .

Решение. w = (1 + i)² + (1 + i) = 1 + 3i .

f

(1 + i) (1 + 3i)

прообраз образ

Геометрический смысл ФКП - отображать область определения D в область значений W, т.к. функция f(z) сопоставляет каждой точке z одной плоскости точку w другой плоскости. При этом линии и фигуры, описанные изменяющейся z , переходят в линии и фигуры совершенно другой конфигурации.

Пр. Функция w = z* отображает верхнюю полуплоскость на нижнюю и наоборот. Образ и прообраз симметрично расположены относительно оси Ох.

Имеем некоторую кривую F(x,y) = 0 и ФКП w = u(x,y) + i v(x,y). Надо найти отображение этой кривой на плоскость uOv. Переход к новой системе координат определяют уравнения u = u(x,y), v = v(x,y) . Совершим обратное преобразование x = x(u,v), y = y(u,v) и перейдем в уравнении кривой к новым переменным F(x(u,v), y(u,v)) = 0. Это уравнение определяет отображение исходной кривой.

Пр. В какие кривые отображаются линии y = x, x² + y² = 2 с помощью функции w =1/z ?

Решение. = ,. Для точек прямойy = x переход к новым координатам упрощается . Обратное преобразование.Преобразование уравнения линииy= x u= -v, т.е. биссектриса 1 четверти переходит в биссектрису 3 четверти.

Для точек окружности x² + y² = 2 переход к новым координатам: u = x/2 , v = - y/2. Обратное преобразование координат : x = 2u , y = -2v . Переход к уравнению образа: x² + y² = 2 u² + v² = ½ , т.е. окружность радиуса переходит в окружность радиуса ½ .

Пр. В какую кривую отображается окружность | z | = с помощью функции w = z² ?

Решение. | z | = z = e^it , (0 t 2),w = z² = 2 e^{i 2t}

т.е. образом является окружность | w | = 2 , причем, при прохождении исходной окружности вторая проходится дважды.