Геометрическая интерпретация кч

Действительному числу соответствует точка на числовой оси, а КЧ a+ bi соответствует точка M(a,b) на координатной плоскости или её радиус-вектор . Такая плоскость наз.комплексной плоскостью, ось Ох –

действительной осью,ось Оу - мнимой осью. Модулем КЧ наз. модуль радиус-вектора .

| z | = r = =

Аргументом КЧ z = a + i b (Arg z) наз. угол между Ох и . Он определяется неоднозначно, с точностью до 2. Главное значение аргумента: arg z = , - <<. Arg z = arg z + 2 k, k = 1,2,3, . .

Алгоритм вычисления аргумента:

1) найти острый угол = arctg |b/a| ; 2) определить квадрант, в котором находится ; 3) перейти от к по правилу: в 1 четверти = ; во 2 четверти = - ; в 3 четверти = + ; в 4 четверти = 2 – .

Пр. Найти аргумент z = 1 – i .

= arctg |–/1| = arctg = / 3 . Вектор лежит в 4 четверти , следовательно, Arg z = ( 2 – ) + 2 k = 5/3 + 2 k , k N.

Сложение двух КЧ геометрически означает сложение двух радиус-векторов.

Тригонометрическая форма кч

Коэффициенты КЧ (a + b i) можно выразить через модуль и аргумент:

{ cos =a/ r , sin =b/ r } {a = r cos,b = r sin }

и записать КЧ в форме z = r [ cos (+ 2 k ) + sin (+ 2 k ) ] ,

которая наз. тригонометрической формой КЧ.

Пр. Записать число z = - - i в тригонометрической форме.

Находим модуль r = [(-)² + (-1)² ]^{1/ 2} = 2. Определяем = arctg 1/ =/6. Вектор в 3 четверти arg z = +/ 6 = 7/ 6,

z = – – i = 2( cos7/ 6 + i sin 7/ 6 ).

Пр. Записать число z = 2 (cos 330⁰ + i sin 330⁰ ) в алгебраической форме.

cos 330⁰ = cos (360⁰– 30⁰) = cos 30⁰ =/2, sin 330⁰ = sin (360⁰– 30⁰) = - sin 30⁰= = -1/2 , тогда a = 2 (/ 2) =,b = 2 (-1/2) = -1 и z = -i .

При перемножении и делении двух кч в тригонометрической форме

z₁ = r₁ ( cos ₁ + i sin ₁ ) , z₂ = r₂ ( cos ₂ + i sin ₂ )

Используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают

z₁ z₂ = r₁ r₂ [ cos (₁ + ₂ ) + i sin (₁ + ₂ ) ]

z₁ / z₂ = r₁ / r₂ [ cos (₁ - ₂ ) + i sin (₁ - ₂ ) ]

z ⁿ = [ r ( cos + i sin )]ⁿ = r ⁿ ( cos n +i sin n )

= [ cos (+ 2k)/n + i sin (+ 2k)/n )] , где k = 0,1,2, . . ., n – 1 .

Две последние формулы наз. формулами Моавра. Умножение КЧ теперь сводится к умножению их модулей и сложению аргументов, а деление КЧ к делению модулей и вычитанию аргументов. Появление n решений при извлечении корня связано с тем, что все значения Arg z = ( + 2 k ) уменьшаются в n раз и самые первые n значений аргумента становятся меньше 360⁰ , т.е. становятся главными значениями аргумента - arg z . Они различны, но при возведении корней в степень n получаем одинаковый результат.

Пр. Пусть arg z = 40⁰, тогда Arg z = arg z + 2k , где k = 0,1,2, . . . или

z 40⁰ , 400⁰ , 760⁰ , 1120⁰ ,… Имеем 1 главное значение аргумента.

z² 80⁰ , 800⁰ , 1520⁰ , 2240⁰ , … Имеем 1 главное значение аргумента.

z^1/2 20⁰ , 200⁰ , 380⁰ , 560⁰ , … Имеем 2 главных значения аргумента.

z^1/4 10⁰ , 100⁰ , 190⁰ , 280⁰ , … Имеем 4 главных значения аргумента.