Вычисление интегралов по формуле Коши

Рассмотрим интегралы вида J = , где контур L охватывает область D, - аналитическая функция вD, а - многочлен и один из его корнейа попадает в D. Тогда =и- аналитическая вD функция. В результате приходим к интегральной формуле Коши ( 39 ) и вычисляем интеграл

J = = 2if (a) = 2i ( 44 )

Если корень а в имеет кратностьn , то =и интеграл вычисляется с помощью формулы ( 40 )

J = = ( 45 )

Пр. Вычислить J = , где а) L: | z + 2i| = 1; b) L: | z | = 2.

Решение. Полином z³ +16z = z(z – 4i)(z + 4i) имеет корни z₁= 0, z₂ = 4i, z₃ = -4i.

a) В круг | z+2i| = 1 они не попадают подынтегральная функция аналитическая в этом круге и по теореме КошиJ = 0.

b) В круг |z| = 2 попадает один корень z = 0 и по формуле ( 41 ) имеем

J = = 2i=

Пр. Вычислить =.

Пр. Вычислить J = , где L : |z - i| = 2 .

Решение. Особые точки – нули знаменателяz₁= i , z₂ = -2. В круг | z – i | = 2 попадает только корень i кратности 2. По формуле ( 42 )

J = = 2i =

= 2i =

Пр. Вычислить =

= = .

Теорема о вычетах

Рассмотрим общий подход к вычислению интегралов по замкнутому контуру L от функции f(z), которая аналитична в области охваченной контуром, но имеет в точке а полюс порядка n.

Если такую функцию представить в виде ряда Лорана и почленно проинтегрировать, то все члены ряда дадут нулевой вклад за исключением одного слагаемого. Это очень упрощает вычисления.

Имеем f(z) =++ . . . ++(z), ( 46 )

где правильная часть ряда Лорана (z) - аналитическая функция. Интеграл от неё по замкнутому контуру равен 0 (теорема Коши).

f(z)dz = A_-n + . . . +A _-1 + 0

Вокруг точки а опишем окружность радиусаr и получим кольцевую область, где функции аналитические. Тогда интеграл по внешнему контуруL₊

можно заменить на интеграл по внутреннему контуру ₊ ( 38 ) и вычислить его. Пусть z – a = r e^it , тогда dz = ir e^itdt , 0 t 2

,

=

где k 1 - произвольно. Таким образом, после интегрирования разложения функции f(z) в ряд Лорана все слагаемого, за вычетом одного, равны нулю.

Опр. Вычетом функции f(z) в точке а наз. коэффициент разложения функции в ряд Лорана по (z – a) при слагаемом 1/(z – a) .

Обозначения : или A _-1 .

Пр. f(z) = =( ) =

Функция имеет полюс 5 порядка и её вычет равен A _-1 = 1/24 .

Теорема. Значение интеграла по замкнутому контуру L, ограничивающему область D, от функции f(z) аналитической в D, за исключением полюса в точке а равно вычету функции в этой точке

f(z) dz = 2i A _-1 ( 47 )

Если функция f(z) имеет в пределах контура L несколько полюсов а₁, а₂, . . . , а_m , то интеграл равен сумме вычетов

f(z)dz = ( 48 )

Контур односвязной областиL^` теперь включает m окружностей вокруг каждого полюса иm не пересекающихся разрезов. В результате интеграл по L₊ будет равен сумме интегралов по .