§ 5. Интервальные оценки

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенной случайной величины по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал

где - точность оценки, - объем выборки, - значение аргумента функции Лапласа , при котором .

При неизвестном (и объеме выборки )

где - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, находят по таблице распределения Стьюдента по заданным и .

Примеры с решениями

Пример 1. По данным девяти независимых измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и «исправленное» среднее квадратическое отклонение Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Решение. Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию . Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном ) при помощи доверительного интервала

Все величины, кроме , известны. Найдем с помощью таблицы распределения Стьюдента. При находим

Подставив в формулу для доверительного интервала, получаем искомый интервал:

Пример 2. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки .

Решение. Требуется найти доверительный интервал

Все величины, кроме , известны. Найдем из соотношения По таблице значений функции Лапласа находим . Подставив в формулу для доверительного интервала, окончательно получаем

.

Пример 3. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна , если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

Решение. Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней: . Отсюда

По условию, , следовательно, По таблице значений функции Лапласа находим Используя , находим искомый объем выборки

Задачи

Задача 1. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью точность , с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

Задача 2. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния до цели с надежностью , зная среднее арифметическое результатов измерений м. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема

Оценить с надежностью математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.