Аксіоми кон’юнкції, диз’юнкції і заперечення:
1.
;
1. 0
0 = 0; 1. 0
0 = 0;
2.
.
2. 0
1 = 0; 2. 0
1 = 1;
3. 1 0 = 0; 3. 1 0 = 1;
4. 1 1 = 1; 4. 1 1 = 1;
Закони булевої алгебри випливають із аксіом і також мають дві форми вираження: для кон’юнкції і для диз’юнкції.
1. Комутативні закони
а)
;
б)
.
2. Сполучні закони
а)
;
б)
.
3. Розподільні закони
а)
;
б)
4. Закони поглинання
а)
;
б)
.
5. Закони склеювання
а)
;
б)
.
6. Закон подвійного заперечення
.
7. Закони де Моргана
а)
;
б)
або після інвертування лівих і правих частин:
в)
;
г)
.
Зауважимо, що закони де Моргана є дійсними для будь-якої кількості змінних:
;
.
8. Закони ідемпотентності
а)
;
б)
.
9. Закони універсальної множини
а)
;
б)
.
10. Закони нульової множини
а)
;
б)
.
11. Закони доповнення
а)
;
б)
.
Правильність наведених законів легко доводиться за допомогою викладених вище аксіом або шляхом побудови таблиці істинності.
Доведемо, наприклад, справедливість розподільного закону (випадок б):
Спочатку виконаємо доведення скориставшись аксіомами:
.
Доведемо шляхом побудови таблиці істинності. Для цього побудуємо таблиці істинності для виразів, які знаходяться в лівій і правій частинах рівності. Результати обчислень наведено в табл. 9.
Таблиця 9
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Співпадання значень у виділених стовпцях табл. 9 доводить справедливість рівності.
Аналогічно можна довести інші закони.
Із комутативного і асоціативного законів для диз’юнкції (кон’юнкції) випливає, що диз’юнкція (кон’юнкція) декількох змінних може виконуватись послідовно, причому порядок обчислення диз’юнкції не впливає на результат. Це дає можливість сформулювати такі правила:
1. Якщо в логічному добутку (кон’юнкції), що містить не менше двох співмножників, один із співмножників дорівнює нулю, то логічний добуток дорівнює нулю.
2. Якщо в логічному добутку, що містить не менше двох співмножників, є співмножник, який дорівнює одиниці, то цей співмножник можна вилучити.
3. Якщо в логічній сумі (диз’юнкції), що містить не менше двох доданків, є доданок, який дорівнює нулю, то цей доданок можна вилучити.
4. Якщо в логічній сумі, один із доданків дорівнює одиниці, то ця сума дорівнює одиниці.
Приклад
2.
а) Довести, що
Маємо
б).
Довести, що
.
Маємо
в)
Довести,
що
.
Маємо
г)
Довести,
що
.
Маємо
.
1.6. Двоїстість
Означення
1. Логічна функція
називається двоїстою
до функції
,
якщо
.
Означення
2. Функція, двоїста
сама до себе, тобто
,
називається самодвоїстою.
Правило
побудови двоїстої функції.
Для запису функції
,
двоїстої до функції
,
треба у функції
всюди 0 замінити на 1, 1 – на 0, знак
– на ,
а знак
– на .
Наведене правило побудови двоїстих
функцій називається
принципом двоїстості.
Приклад
3. Нехай,
задано логічну функцію
.
Побудувати функцію двоїсту до заданої.
Розв’язання. а) Виходячи з означення двоїстості та застосувавши правило де Моргана два рази, одержимо
.
б)
Скориставшись правилом побудови
двоїстих функцій (принципом двоїстості)
зразу одержимо, що
.
Легко переконатись, що таблиця істинності двоїстої функції одержується з таблиці істинності для функції шляхом інвертування (заміною значень 0 на 1 та 1 на 0) значень функції й записом стовпчика інвертованих значень функції у зворотному порядку (див. два останні стовпці табл. 10)
Таблиця 10
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
На підставі законів де Моргана можна вивести таке твердження: якщо функція двоїста до функції , то справедлива тотожність
.
Таким
чином, заперечення функції можна знайти
або за допомогою закону де Моргана, або
заміною в функції двоїстої до заданої
значення всіх змінних на протилежні –
на
і
на
,
де
.
Логічна функція є самодвоїстою (непарною), якщо на кожній парі протилежних наборів вона приймає протилежні значення, тобто
або
.
Для
двох змінних такими функціями є:
.
Приклад
4. Користуючись
таблицею істинності вияснити чи є
функція
самодвоїстою.
Розв’язання.
Для побудови двоїстої функції скористаємось
правилом побудови
двоїстих функцій. Аналізуючи таблицю
істинності (табл.11)
легко переконатись,
що побудована функція не є самодвоїстою,
тобто:
,
і
.
Таблиця 11
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
