2. Задачи

2.1. Оценить продуктивность матрицы:

.

Решение

Рассмотрим матрицу:

.

Найдем её определитель:

,

значит обратная матрица - существует.

Рассмотрим характеристическое уравнение .

;

;

.

, ,

.

Таким образом, , следовательно, матрица А продуктивна.

2.2. Предприятие выпускает продукцию трех видов, причем каждое из его структурных подразделений (цехов) специализируется на выпуске только одного вида: первый цех выпускает продукцию первого вида, второй – продукцию второго вида, третий - продукцию третьего вида. Часть продукции идет на внутреннее потребление, остальная часть является конечным продуктом.

Имеются экономические оценки коэффициентов прямых затрат и объемов конечной продукции:

.

Требуется составить баланс производства и распределения продукции предприятия.

Решение

Модель баланса производства и распределения продукции предприятия можно представить следующей системой уравнений:

,

где Х₁, Х₂, Х₃ – количество продукции соответственно первого, второго и третьего вида.

Решим систему уравнений методом полного исключения неизвестных и определим валовую продукцию цехов X₁, X₂, X₃:

значит:

.

Распределение продукции между цехами на внутреннее потребление определяем из соотношения:

т. е. и т. д.

В итоге плановая модель – баланс производства и распределения продукции предприятия – будут иметь следующий вид табл. 1.

Таблица 1

Межпродуктовый баланс производства и распределения продукции
Производящие структуры	Потребляющие структуры			Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1	6,0	12,0	6,0	36	60
2	12,0	8,0	9,0	11	40
3	6,0	4,0	12,0	8	30
Итого:	24	24	27	55	130

2.3. Межотраслевые потоки x_ij в трехотраслевой производственно-экономической системе представлены матрицей , а конечные продукты отраслей — столбцом . Найти матрицу коэффициентов прямых затрат.

Решение

Найдем столбец валового продукта

Тогда элементы матрицы найдем по формуле , получим

.

2.4. Объемы промежуточной продукции в линейной статической модели Леонтьева представлены матрицей , а объемы валовых выпусков — вектором . Тогда матрица коэффициентов прямых затрат имеет вид…

Решение

Коэффициенты прямых затрат вычисляются по формуле , где  — объем промежуточной продукции -ой отрасли, который используется в -ой отрасли,  — объем валового выпуска в -ой отрасли, то есть , , . Тогда , , .

2.5. В линейной статистической модели Леонтьева объемы конечного продукта представлены вектором , объемы валовых выпусков — вектором . Тогда объемы промежуточной продукции можно представить матрицей…