5.Предел сложной функции. Непрерывность сложной функции.

Определение

Функция имеет предел в точке , предельной для области определения функции , если для каждой окрестности предела существует проколотая окрестность точки , образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки .

Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х₀, а функция f (y) непрерывна в точке у₀ = φ (x₀), тогда сложная функция f(φ(x)) непрерывна в точке х₀.   Доказательство. Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z₀) точки z₀ = f (y₀). Тогда в силу непрерывности функции f (y) найдётся такая окрестность V(y₀) точки у₀, что, если у V(y₀), то значения функции f (y) U(z₀). Далее, для полученной окрестности V(y₀) в силу непрерывности функции у = φ (x) в точке х₀ существует такая окрестность W(x₀), что если х W(x₀), то значения функции у = φ(x) V(y₀). Следовательно, для произвольной точки х W(x₀) следует z = f (φ(x)) U(z₀). Что и требовалось доказать.   Это можно записать ещё и так

.

Указанное выше свойство можно сформулировать в виде правила замены переменной: пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х₀, а функция f (y) непрерывна в точке у₀ = φ(x₀), тогда

6. Тригонометрические функции. Непрерывность тригонометрических функций

Рассмотрим тригонометрические функции sin х, cos х, tg х, ctg х, sec x, cosec х.   Функция sin х непрерывна в любой точке числовой прямой.   Рассмотрим разность

,

если | x − x₀ | мало, то | sin x − sin x₀ | тоже достаточно мало:

( ε > 0 ) ( δ = δ (ε, x₀) > 0 ) ( | x - x₀ | < δ ) : | sin x − sin x₀ | < ε

Таким образом, функция sin x непрерывна в любой точке числовой оси.   Непрерывность функции cos x в любой точке числовой оси доказывается аналогично. Рассмотрим разность

если | x − x₀ | мало, то |cos x − cos x₀| тоже достаточно мало:

( ε > 0 ) ( δ = δ (ε, x₀) > 0 ) ( | x - x₀ | < δ ) : | cos x - cos x₀ | < ε

  Из непрерывности функций sin x и cos x следует непрерывность функций tg x и sec x во всех точках, где cos x ≠ 0, т.е. во всех точках, кроме х = p/2 + p· k ( k Z), и функций ctg x и cosec x во всех точках, кроме х = p· k (k = 0, ±1, ±2,… ).

6-7. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х

1) Sin x:

Lim Sin x = Sin x₀ (при хх₀)

|Sin x-Sin x₀|=2*|Sin((x-x₀)/2)|*|Cos((x+x₀)/2)| < 2*|(x-x₀)/2|=|x-x₀| => -|x-x₀|<Sin x-Sin x₀<|x-x₀| при хх₀ => -|x-x₀|0 & |x-x₀| => (по теореме о порядковых св-вах предела) (Sin x-Sin x₀)0

2) Cos x:

Lim Cos x = Cos x₀ (при хх₀)

Cos x = Sin (П/2 - x) = Sin y; Cos x₀ = Sin (П/2 - x₀) = Sin y₀

|Sin y-Sin y₀|=2*|Sin((y-y₀)/2)|*|Cos((y+y₀)/2)| < 2*|(y-y₀)/2|=|y-y₀| => -|y-y₀|<Sin y-Sin y₀<|y-y₀| при yy₀ -|y-yo|0 & |y-yo|0 => (Sin y-Sin y₀)0 => производим обратную замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x₀)]0 => (Cos x-Cos x₀)0

3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кZ

4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кZ

Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х0), 0<x<П/2

Доказательство:

Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R²) откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. => Cos x < (Sin x)/x < 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos xLim (Sin x)/x при x0, 0<x<П/2. Испльзуем непрерывность Сos1Lim (Sin x)/x1 => Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2