Директриси еліпса. Теорема про фокальні властивості еліпса

Директрисами еліпса називаються прямі, які перпендикулярні до

великої осі еліпса і лежать на відстані від центра еліпса, де — велика

піввісь. - ексцентриситет еліпса.

Рівняння директрис еліпса d_{ і d₂, заданого рівнянням (12.1.1),

мають вигляд:

Оскільки > а, то директриси еліпс не перетинають.

Теорема 1 (про фокальну властивість еліпса). Відношення фокальних радіусів довільної точки еліпса до відстаней цієї точки до відповідних директрис є величина Стала і дорівнює ексцентриситету еліпса:

Доведення. Враховуючи симетрії еліпса, доведення досить провести для точки М(х;у) з першої чверті. Скориставшись виразами фокальних радіусів точки еліпса (12.4.2), виразимо

Виразивши з першої і другої рівності, матимемо:

Це й вимагалось довести.

Параметричні рівняння еліпса

Параметричні рівняння

(12.6.1)

в прямокутній декартовій системі координат задають еліпс з півосями а і

.

Справді, для довільного значення параметра точка з координатами задовольняє канонічне рівняння еліпса:

І навпаки, можна показати, що для будь-якої точки М(х;у), яка належить еліпсу, завжди знайдеться таке значення параметра , що виконуються рівності (12.6.1).

Побудова точок еліпса за допомогою циркуля та лінійки

Параметричні рівняння еліпса (12.6.1) допомагають в прямокутній декартовій системі координат будувати точки еліпса

За допомогою циркуля та лінійки.

Побудуємо два концентричні кола і у₂ з радіусами а та <а відповідно. Вони записуються параметричними рівняннями:

і

Якщо радіус кола утворює з віссю кут , то Тоді

Точка M(acost;bsint), яка є точкою перетину прямих і , де — пряма, яка проходить через точку М₁ і паралельна осі Оу, а — пряма, яка проходить через М₂ і паралельна осі Ох, є точкою еліпса (див. мал. 12.7.1). Отже, для побудови точки еліпса досить провести радіус великого кола, через його кінець провести пряму, паралельну осі Оу, а через точку перетину радіуса з малим колом — пряму, паралельну осі Ох. Точка перетину прямих належить еліпсу.

Дотична до еліпса.

Теорема 1. Дотична до еліпса в точці задаються рівнянням

(12.8.1)

Доведення. Оскільки пряма проходить через точку :

і має вектор напряму то її параметричні рівняння мають вигляд:

Доведемо, що пряма з еліпсом має лише одну спільну точку (точніше: дві співпадаючі). Для цього розглянемо систему:

Після підстановки в перше рівняння двох інших виразів отримаємо:

Звідки:

тобто

Отже, пряма з еліпсом має лише одну спільну точку

Задача 1. Написати рівняння прямої, яка дотикається еліпса в точці

Розв’язання. Оскільки точка М належить еліпсу, то, скориставшись рівнянням (12.8.1), отримаємо рівняння дотичної:

Відповідь:

Задача 2. Скласти рівняння дотичних до еліпса проведених з точки

Розв’язання. Якщо - точка дотику, то рівняння дотичної запишеться у вигляді (12.8.1).

Оскільки

З системи рівнянь

Задача 3. Знайти ті дотичні до еліпса які паралельні прямій

Розв’язання: Якщо - точка дотику, то рівняння дотичної запишеться у вигляді (12.8.1). Оскільки дотична паралельна прямій , то її вектор напрямку колінеарний вектор напрямку прямої тобто

Оскільки точка належить еліпсу, то

Розв’язавши систему рівнянь:

Отримаємо координати точок дотику:

Отже, рівняння дотичних матимуть вигляд:

Відповідь: .