
- •Означення та канонічне рівняння еліпса
- •Дослідження властивостей еліпса за його канонічним рівнинним
- •Директриси еліпса. Теорема про фокальні властивості еліпса
- •Параметричні рівняння еліпса
- •Побудова точок еліпса за допомогою циркуля та лінійки
- •Дотична до еліпса.
- •Оптичні властивості еліпса Теорема про оптичну властивість еліпса.
- •Означення та канонічне рівняння гіперболи
- •Дослідження властивостей гіперболи за її канонічним рівнянням
- •Взаємне розміщення гіперболи і прямої, яка проходить через її центр
- •Асимптоти гіперболи
- •Ексцентриситет гіперболи.
- •Вираз фокальних радіусів точки гіперболи
- •Директриса гіперболи. Теорема про фокальні властивості гіперболи
- •Побудова точок гіперболи за допомогою циркуля та лінійки
- •Дотична до гіперболи
- •Оптичні властивості гіперболи. Теорема про оптичну властивість гіперболи.
- •Означення та канонічне рівняння параболи
- •Властивості параболи
- •Дотична до параболи
- •Оптична властивість параболи
- •Механічний спосіб побудови параболи та побудова точок параболи за допомогою циркуля і лінійки
Змістовий модуль 5. Криві другого порядку. Загальна теорія кривих другого порядку.
Лекція № 12. Еліпс, гіпербола, парабола, їх канонічні рівняння і властивості.
Означення та канонічне рівняння еліпса
Означення12.1.1. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких від двох фіксованих точок (фокусів) є величиною сталою і більшою відстані між фокусами.
Я
кщо
і
є фокусами еліпса
,
то відстань між ними
називається фокусною
відстанню.
Якщо М – точка еліпса , то відстані
називаються
фокальними
радіусами точки М.
Згідно з означенням еліпса:
Мал. 12.1.1.
Причому
.
Вивчимо
еліпс методом координат. З цією метою
виберемо прямокутну Декартові систему
координат так, щоб фокуси містились на
осі
і були симетричними відносно початку
координат (див. мал. 12.1.1.). Тоді
Якщо
- довільна точка еліпса, то
що в координатній формі записується:
,
Поклавши
отримаємо:
Поділивши
обидві частини рівності на
(оскільки
то
),
отримаємо:
(1)
Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпса.
Задача 1 Вершина трикутника, що має нерухому основу, переміщується так, що периметр трикутника зберігає постійну величину. Знайти траєкторію вершини трикутника, при умові, що основа має довжину 24см, а периметр дорівнює 50см.
Розв’язання.
Нехай
А
і В
–
нерухомі, а М
–
рухома вершини трикутника. За умовою
і
звідки
.
Отже,
траєкторію точки М
є
геометричне місце точок, сума відстаней
яких від точок А
і
В
є
величина стала і більша відстані між
цими точками (26>24), тобто є еліпсом з
довжиною великої осі
фокусною
відстанню
і довжиною малої осі
Задача
2. Еліпс
проходить через точки
і
Скласти рівняння еліпса, якщо відомо,
що його осі лежать на осях координат.
Розв’язання.
Оскільки
осі еліпса лежать на осях координат, то
його рівняння має вигляд:
Покладемо
і розв’яжемо систему рівнянь:
Отже,
і канонічне рівняння еліпса має вигляд:
Відповідь:
Задача
3. Дано
рівняння еліпса
Обчислити довжини його осей, координати
фокусів.
Розв’язання. Перетворимо рівняння еліпса поділивши обидві його частини на 4225;
В
отриманому канонічному рівнянні бачимо,
що
-
велика піввісь, а
- мала піввісь еліпса. Із основного
співвідношення параметрами еліпса
отримуємо
Отже, фокуси і мають координати (12;0) і (-12;0).
Відповідь: 2а=26 – довжина великої осі;
2b=10 – довжина малої осі;
Механічний спосіб побудови еліпса
Означення еліпса дозволяє вказати простий спосіб його побудови. Зафіксуємо дві точки , і , — фокуси еліпса. Закріпимо в цих точках нитку довжиною 2а більшою, ніж відстань між ними. Якщо відтягнути нитку олівцем, і рухати його, тримаючи весь час нитку натягнутою, то можна накреслити еліпс з даними фокусами , і F2 та довжиною великої осі 2а.
Дослідження властивостей еліпса за його канонічним рівнинним
Використовуючи канонічне рівняння еліпса (12.1.1), вивчимо мої о найпростіші властивості.
Властивість 1. Еліпс є алгебраїчною лінією 2-пі порядку.
Властивість 2. Еліпс є обмеженою фігурою.
З
канонічного рівняння еліпса маємо
Звідки
бачимо, що еліпс належить прямокутнику
з вершинами Mt(a;b),
Властивість 3. Еліпс мас дві взаємно перпендикулярні осі симетрії.
Очевидно,
що коли точка
належить еліпсу у,
то
й М'(х,-у)
,
тобто
еліпс у
симетричний
відносно осі Ох.
Аналогічно,
якщо
то
й
тобто еліпс у симетричний відносно осі Оу.
Властивість 4. Еліпс — центрально-симетрична фігура.
Оскільки
М(х.у) є у => М'(-х,-у) ,
то еліпс, заданий рівнянням (12.1.1), симетричний відносно початку координат.
Зауваження. Властивість 4 є наслідком властивості 3, оскільки фігура, що мас дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, є симетричною відносно точки їх перетину.
Вершинами еліпса називаються точки перетину еліпса з його осями симетрії.
Властивість
5.
Вершинами еліпса (12.1.1) Є
точки
,
,
В,(0;Ь),
В2(0-Ь)
(див.
мал. 12.1.1).
Число
2а
є
довжиною відрізка
(великої осі еліпса), число
довжиною відрізка В{В2
(малої осі еліпса).
Властивість 6. Еліпс є неперервною замкненою кривою.
Канонічне рівняння еліпса можна переписати у вигляді:
Звідки бачимо, що малим приростам х відповідають малі прирости у.
В
першій чверті еліпс є неперервною
лінією, що з'єднує точки
і
. Оскільки він симетричний відносно
осей Ох
та
Оу,
то
частинка еліпса, що міститься в четвертій
чверті, конгруентна частинці в першій
чверті і з'єднує
точки
і.
Аналогічно отримуємо, що еліпс складається
з чотирьох конгруентних частинок, які
з'єднують точки
і
,
і
,
В2
і
А2,
і
відповідно.
Задача
1.
На еліпсі
знайти точки, розміщені на
відстані 5 одиниць від його малої осі.
Розв'язання. Даний еліпс заданий канонічним рівнянням, а отже, симетричний відносно обох координатних осей. Оскільки 24<30, то велика вісь і фокуси даного еліпса знаходяться на осі Оу, а мала вісь на осі Ох.
Якщо М(х;у) — шукана точка, то
тобто
Знайдемо
Відповідь:
(2;5),
(-2;5),
(-2;-5),
(2;-5).
Задача 2. Вказати осі симетрії еліпса х2+3у2+ 4х-18 + 4 =0.
Розв’язання. Перетворимо рівняння еліпса:
Заміна
х+2
на
,
у-3
на
у',
яка
рівносильна перетворенню координат
перенесенням початку в точку
;
Приводить
до рівняння:
В новій системі координат еліпс симетричний відносно координатних осей, які в старій системі координат задаються рівняннями:
х = -2, у=3.
Відповідь: х=-2, у = 3 – осі симетрії даного еліпса.
Зауваження. Якщо центр еліпса знаходиться в точці С(.x0; y0), а велика і мала осі паралельні осям координат, то його рівняння в прямокутній декартовій системі координат має вид:
(12.3.1)
Ексцентриситет еліпса. Вираз фокальних радіусів точки еліпса
Ексцентриситетом
еліпса називається
число
,
яке
дорівнює відношенню фокусної відстані
до довжини великої осі еліпса:
Оскільки 2с < 2а, то ексцентриситет еліпса задовольняє нерівності
причому
0,
коли
2с =
0, тобто
коли
і
еліпс є колом.
Ексцентриситет еліпса є характеристикою форми кривої. Справді,
,
Якщо
а
–
фіксоване,
а
,
то
,
і навпаки, якщо
,
то
.
Отже, чим менший ексцентриситет еліпса, тим більше еліпс «схожий» на коло (відношення осей ближче до 1). І навпаки, чим більший ексцентриситет, тим еліпс «витягнуті ший» (менше відношення осей).
Задача 1. Меридіан земної кулі має форму еліпса, відношення
осей
якого дорівнює
.
Визначити ексцентриситет земного
меридіана.
Розв’язання:
.
Відповідь:
Лема
1. Фокальні
радіуси
і
точки
еліпса
з ексцентриситетом
виражаються наступним чином:
(
12.4.2)
Доведення. Згідно з означенням еліпса
Виразимо різницю:
.
Розглянемо систему рівнянь:
Звідки
і
Що й вимагалось довести.
Задача
2. На
еліпсі
знайти точку,
відстань якої від
правого фокуса в
чотири рази більше відстані від лівого
фокуса.
Розв'язання. Оскільки за умовою а=10, b=6, то ексцентриситет
Нехай
М(х,у)
—
шукана точка
— її фокальні радіуси. За умовою
Використовуючи
вирази фокальних радіусів (12.4.2), маємо:
Звідки
.
А
отже,
Відповідь: