Шпаргалки за 1-ый курс 1-ый семестр / 2008-03-03-21-34-Сашенька-

1.Матрицы. Действия с матрицами.

Матрицы – это система из m×n элементов какого-либо поля К расположенных в виде поля прямоугольной таблицы содержащей “m” точек и “n” столбцов.

Если m=n, то А называется квадратной

Равенство матриц.

Две матрицы называются равными, если они одинаковой размерности и числа, стоящие на одинаковых местах совпадают.

А=В если: 1) А(m×n); В(m×n)

2)а_ij=b_ij i=1,2...m

j=1,2...n

E(единичная)

Это квадратная матрица, у которой по диагонали стоят единицы, остальные нули.

С=А-В=А+(-В)

3)Умножение

Умножение матриц возможно, только если размерности матриц согласованы.

Число столбцов 1 сомножителя должно равняться числу строк 2ого.

Произведение двух матриц зависит от порядка сомножителей, т.е. если АВ определено, то ВА может не иметь смысла если А и В (квадратные), то тогда опред. АВ и ВА но не обязательно они равны, если АВ=ВА, то эти матрицы наз. перестановачные.

Сумма произведений диагональных матриц есть новая диагональная матрица.

Транспонирование.

получается заменой строчек на столбцы наз. транспонированной матрицей А

Свойства:

2.Системы линейных уравнений. Метод Гаусса-Жордана.

Набор значений удовлетворяет условию, если в результате подстановки их в уравнение, получим равное тождество.

наз. решением системы 1, если в результате замены переменных числами все уравнения системы превратятся в верные числовые равенства.

Равносильные системы ур-й – это такие системы, решения которых совпадают.

Метод Гаусса-Жордана.

Будем рассматривать следствие равносильного преобразования

Удобно коэффициент при x₁ иметь равным единице.

Метод полного исключения – это алгоритм, который через конечное число шагов либо установит отсутствие решений у системы, либо приводит ее к равносильной системе одного из следующих типов:

1) m=n

единственное решение

2) m<n

Бесчисленное множество решений

3) нет решений

Ø

Алгоритм Гаусса-Жордана.

1ШАГ.

1) В матрице системы выбираем ведущий элемент(наибольший по модулю0, переставляя строки и

3.Определитель квадратной матрицы. Св-ва определителей.

1) Пусть А - кв. матр. порядка n=1.

A = [a₁₁]. Назовем число а₁₁ определителем матрицы А, обозначим его det A=a₁₁

2) n=2

3) n>2

det A = , где A_ij=(-1)^i+jM_ij

V_i=1,2,3,...,n

M_ij- определитель матрицы, полученный из матрицы А вычеркиванием i-ой строки из j-ого столбца.

M_{i j} - наз. минором элемента A_{i j}.

A_ij – наз. алгебраическим дополнением элемента а_ij

Свойства определителей.

1. det A = , V_i=1,2,3,...,n

A_ij=(-1)^i+jM_ij

2. det A = , V_i=1,2,3,...,n

det A= det A^Т

Метод матричной индукции

n=2

det A =

det A^Т=

(столбца), то определитель меняет знак на противоположный.

7. Определитель не изменяется, если к элементу любой строки (столбца) прибавить соотв. Элементы др. строки (столбца) умноженное на одно и тоже число λ..

detA'=detA

Доказательство по св-вам 4,5.

8.

i ≠ k

det A=

Пусть элементы 2-ого столбца умножаются на алгебраические дополнения элементов 1-ого столбца.

a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+a₃₂A₃₁=0

т.к. А_ij не зависит от а_ij ,то для любых x,y,z можно записать

x=a₁₂

y=a₂₂

z=a₃₂

тогда

С другой стороны, Δ=0

4. Вычисление определителей.

1) det

2) det I=

3)

(верхняя треугольная)

4)

(нижняя треугольная)

5) 1 ≤ j < i ≤ n

5. Прямая и обратная теорема Крамера.

Если detA≠0, то матрица наз. невырожденной

a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...+a_2nx_n=b₂

...

a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n=b_n

A= detA≠0

Если матрица линейной системы невырождена, то система 1 имеет единственное решение.

(2)

Δ-определитель матрицы, составленный из коэффиц.

Δk-определитель, который получается из Δ заменой k-ого столбца на столбец свободных членов.

Док-во.

1) Возьмем систему (1) 1-ое ур-е умножим на А₁₁, 2-ой на А₂₁ и т.д. и почленно сложим ур-я.

(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁+...+a_n1A_n1)x₁+(a₂₁A₁₁+a₂₂A₂₁+...

+a_n2A_n1)x₂₊(a_1nA₁₁+a_2nA₂₁+...+a_nnA_n1)x_n=b₁A₁₁+b₂A₂₁+...+b_nA_n1

det A x₁= Δ ₁

Δ ₁=

7.Матричные уравнения: AX=D; XA=B.

Если в однородной системе число ур-й меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения(бесконечное мн-во решений)

Ax=B

Операция транспонирования.

xA=B

(xA)^T=B^T

A^Tx^T=B^T

(x^T)^T=x

систем

1. Перестановка уравнений системы (Перестановка строк рассматриваемой матрицы)

2. Перенумерация неизвестных величин (перестановка столбцов)

3. Умножение любого уравнения системы на число отличное от нуля (умножение любой строки рассматриваемой матрицы на число отличное от нуля)

4. Прибавление к любому уравнению системы другого уравнения, умноженного на любое число, неровное нулю.(прибавим к любой строке рассматриваемой матрицы другую строку, умноженную на любое число неравное нулю).

Эти преобразования равносильности системы.

Рассмотрим систему (1).

В системе 1 найдется хотя бы одно уравнение, в котором коэффициент при X₁≠0.

Пусть это будет коэффициент a₁₁≠0

1 ШАГ.

Чтобы исключить x₁ из 2-ого уравнения системы 1,мы 1-ое уравнение умножим на a₂₁,а 2-ое уравнение на a₁₁ и из 2-ого вычтем 1-ое.

После 1-ого шага матрица А' преобразуется в матрицу А''

2 ШАГ.

Вещественные матрицы – у которых все числа вещественные.

Действия с матрицами.

1) Умножение матрицы на число

2) Сложение матриц.

1.A+B=B+A

2.A+(B+C)=(A+B)+C

3.

4.

5.

6.(-1)A=-A

7.

Если , то В=-А

(Одинаковой размерности)

тогда

9.det(AB)=detA detB

3. Если матрица имеет нулевой столбец или строку, то определитель ее равен нулю.

a_ij=0, j=1,2...n (i=1,2...n)

det A=0

4. A'= A''=

A=

detA= detA'+detA''

detA=

5.

detA'=λdetA

detA'=

det(λA)= λⁿdetA

Все свойства равноценны для строчек и столбцов.

6. Если в определителе поменять местами любые 2-е строчки

столбцы расширенной матрицы системы , помещаем ведущий элемент в 1-ую строку и в 1-ый столбец.

Делим элементы полученной матрицы на ведущий элемент.

2) Ко 2-ой строке расширенной матрицы прибавляем 1-ую умноженную на “-a₂₁”,к 3-ей строке прибавляем 1-ую умноженную на”-a₃₁”

3) Если в рассмотренной матрице системы образуется строка вида 0 0 ... 0 |b? B≠0, то система не совместна, алгоритм заканчивается.

Если какая-то строчка расширенной матрицы принимает вид 0 0 ... 0| 0 , то эта строчка отбрасывается.

Если в результате 1 шага не обнаруживается несовместимость, число строк матрицы>1, то переходим ко второму шагу.

2ШАГ.

Вычеркнем (мысленно) в расширенной матрице 1 строчку, 1 столбец и в ост. матр. Находим ведущий элемент, переставляя строки и столбцы расш. матр. во 2-уя строчку во 2-ой столбец делим 2-ую строчку на ведущий элемент.

К 1-ой строке прибавляем 2-ую строку, умноженную на “-a₃₂”. В результате 2-ой столбец примет вид:

Повторим пункт 3 из 1-ого шага.

8. Обратная матрица. Условия существования. Вычисление.

Ax=I YA=I

I. , x=A^-1

II. X= [x_{i j}] = AX= A=

Опр-е: Ранг матр. это наибольшее из порядков опред. Среди опр-лей порядка r составленных из матрица А таких, что среди них найдется хотя бы один неравный нулю, но все опр-ли порядка r+1 и выше или равны нулю или не могут быть составлены

опр-ль нулевого порядка=1

A= r=3 A=

k!=1*2*3...k

Если матрица нулевая, то ранг = 0

Теорема: если хотя бы один из определителей порядка r , сост. Из матр. r≠0 и все опред. пор. r+1 сост. из матр. А равны нулю, то ранг равен r.

Теорема: Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях.

A→C₁→C₂→...→B

rang A = rang B

Замечание: ранг матрицы не измен. Если к ней приписать (строчку) столбец состоящий из нулей.

При вычислении ранга матрицы стоит переходить от миноров меньшего порядка,если наеден минор порядка к, то требуется вычисление минора рангом к+1

Формула 2 не эквивалентна система 1. Подставим X_к в уравнение системы

если i=j то это будет определитель detA

если i≠j то мы получим ноль

Прямая терема доказана.

Если система (1) имеет ед. решение, то определитель Ф равен нулю.

Допустим, для решения системы мы пременем метод Гаусса.

[A/B]→[I/x]

detI≠0 detA≠0

т. Крамера не решает вопрос когда опред. А=0, нет решений или их бесконечно много.

6.Однородные системы линейных уравнений.

Однородная система всегда имеет нулевое(тригональное)решение.

Однородная система всегда совместна.

Однородная система имеет одно решение, если число ур-й равно числу неизвестных и опр-ль не равен нулю.

Однородная система в которой число ур-й равно числу неизвестных или не имеет нулевого решения тогда и только тогда, когда опр-ль равен нулю.

9. Линейное векторное пространство, аксиомы. Пространства Rⁿ и Сⁿ.

Опр-е.

Мн-во L наз. лин. пространств., если

1)к каждым 2-м элементам x,y L сопоставим эл. Z=x+y, то ZL и наз. суммой этих элементов;

2)если каждому xL и VλC, U=λx, UZ U наз. произв. Эл. На число.

Указанные операции должны уд. след. аксиомам.

1. x+y=y+x (коммутативность сложения)

2. (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность сложения)

3. -наз. нулевым элементом

4. сущ. противоположный элемент равный (-x),

5. 1x=x

6. 

7. 

8. 

Теорема

Для любого линейного пространства справедливы след. утв-я:

1. Нулевой элемент θ-единственен.

Д-во: пусть сущ. 2 нулевых элемента θ₁ и θ₂

θ₁+ θ₂= θ₁

если x= θ₂

θ₂+ θ₁= θ₂ сл-но θ₁= θ₂

2) -x эл. противопол. X из мн-ва L – единственен.

3) для любого x из мн-ва L – произв – е нулевого эл. на x дает нулевой элемент.

4) для любого против. Эл. мА можем записать -1x

Пусть λC ,

λ = λ

1) +=+

2) (+)+=+(+)

2а) +=

3) λ (+)=λ + λ , λС

4) (α+β) = α+β

5) α ()=(α)

Мн-во всех n-мерных вектрорв, с устан. В нем операциях сложения и умножения на хисло образуют комплексное линейное пространство, кот. обозн. Cⁿ.

10.Линейная зависимость векторов. Свойства.

Пусть даны n-векторы ,...из пространства Сⁿ и числа с₁,с₂,...с_{n –} комплексные.

(1)

Линейная комбинация векторов ,...

= = =

=+2

Если имеет место равенство (1), то мы говорим что в разложении по векторам ,... (2)

Ур-е (2) все будут иметь нулевое решение, т.е. с₁,с₂, с_т=0,но может иметь не нулевое.

Опр-е: мн-во векторов ,...наз. линейно независимым, если ур-е (2) имеет только нулев. решение в противном случае вект. ,...наз. линейнозависимыми.

= =

==0

Векторы и линейно независимы .

,то сущ. ,...()

k=1,2,...n

Пусть =

det A≠0

= =

Эта система однородна и имеет единственное решение когда detA≠0 .И это ед. решение нулевое.

Опр-е: Линейное пространство C(R) наз. n-мерным, если в нем сущ. n- линейно незав-мых в-ров и нет большего числа линейно незав. в-ров.

11.Базис. Разложение вектора по базису.

Опр–е: в пр-ве () любой упорядоченный набор n- лин.незав. в-ров наз. базисом этого пр-ва.

Теорема: каждый в-р i из n- мерного пр-ва можно представить как линейную комбинацию базисных в-ров, это разложение единственно.

Д-во: пусть ,... -базис detвозьмем произвольный в-р .

=

det A≠0

определены единственным образом.

Если

= координаты вектора в базисе ,...

Базис ,...- стандартный.

Базисов в пр-ве бесконечно много.

Теорема.

В пр-ве () мах число лин. незав. в-ров равно n- размерности пр-ва.

Д-во: (от противного)

12. Скалярное и векторное пр-я. Св-ва.

Опр-е: Скалярным пр-ем 2-х не нулевых в-ров и наз. произв-е длин этих в-ров на

Если хотя бы один из в-ров =0, то скал-е пр-е =0.

=

Св-ва.

1. Для любых в-ров и скал-е пр-е.

=

2) , то =0 ≠ 0, ≠ 0

===

1. В-ры и наз. ортогональными, если произведение =0

=

= =0 =0

≠ ==

4) ,,

=1 =1 =1

=0 =0

=

Однородность скалярного произведения.

Для любых векторов и и любого вещественного числа λ справедливо скал-ное пр-е

==

=

Ск. пр-е обладает св-вом однородности по каждому из сомножителей.

6)Аддетивность скал. пр-я.

Векторное пр-е.

Векторным пр-ем в-ров на (и не нулевые в-ры из R³) наз в-р такой, что:

1) Ортогонален и ;

2) Длина вектора

=(численно равна площади параллелограмма, построенного на в-рах и , как на сторонах);

,, правая

,, левая

и направлены противоположно, но длины одинаковы

Св-ва:

1. Для любого вещ. Ряда справедливо отношение:

= =0 или

≠0,

а) пусть >0, и коллинеарны, сонаправлены.

, ,

, , Правые тройки

, ,

Эти векторы перпендикулярны пл-ти в кот. лежат и и направлены одну сторону.

Эти векторы коллинеарны.

б) Если >0, , левые тройки.

Векторы коллинеарные и напр-ны в др. сторону в кот. напр. и .

13. Смешанное пр-е. Св-ва.

Смеш. Произв. Упоряд. Тройки векторов , иназ. число, равное скал. произв. и на

([, ],)

, и - правая тройка. - смешанное пр-е

Св-ва.

1) При перестановке двух сомножителей смеш. пр-е меняет знак:

= - = = - = = - .

2) Векторы , икомпланарны (т.е. параллельны одной пл-ти) тогда и только тогда, когда =0

3. Если в-ры ,, не компланарны, то на них можно построить параллелепипед; его объем V=| |. Объем пирамиды, построенной на векторах ,и, составляет одну шестую часть объема указанного параллелепипеда: V_пир.=1/6| |.

Если =,= , =, то их смешанное пр-е вычисляется как опр-дь третьего порядка:

= =

, -линейная зависимость

2вектора линейнозависимы, если их компоненты пропорциональны. Если вектора коллинеарны, то они линейнонезависимы.Система векторов ,...наз. лин. зав-мой тогда и только тогда, когда хотябы один из этих векторов является линейной комбинацией других.

Д-во:

I. С_i ≠ 0

II.

Св-ва.

1. Мн-во векторов, содержащих нулевой вектор будет линейно завизимым.

2. Любое подмножество мн-ва линейно независимых в-ров будет линейно независимым.

3. Если подмн-во будет линейно зависимо то и мн-во будет линейно зав-м.

4. Если в-ры ,... лин. незав-мы и

Векторное n пространство.

Пусть n фиксированное число, упорядоч. сист. n-чисел вида

наз. n- мерным вектором, a₁,a₂... a_n-компоненты, векторы с нулевыми компонентами наз. нул. Мн-ва векторы у кот. эл. компл. обозн. Сⁿ, Rⁿ векторы из пространства R чисел.

Векторы и наз. равными, если:

3. одинаковой размерности;

4. a_i=b_i i=1,2,....n

Суммой векторов (+) одинаковой размерности наз. вектор

Противоположный вектор вектору: -

Существует нулевой вектор

+(-)=

=0 =0 =0 =0

5) Ф-ма ск-ого пр-я в декартовой системе координат.

Пусть в пр-ве фиксировано пр-е не коллин. В-ров, общее начало

По т. Косинусов

Пусть

= =

=если и коллинеарные в-ры, если =0 или=0,то ф-ла тривиальна.

=

Пусть ,... линейно незав-мы.

,...-подмн-во.

Мн-во векторов,...будет лин.незав. сл-но это мн-во образует базис, т.к. любой вектор их мн-ва можно разложить по эл. базиса.

т.е. - лин комбинация в-ров,..., а это значит, что ,... лин.зав-мы, что противоречит пр.

Опр-е: Если в пр-ве C(R) сущ. n-лин.незав. в-ров,... таких, что каждый вектор

из пространстваR(C) есть их лин. комбинация,то мы говорим,что пространствоC(R) - n-мерно.

Опр-е: Если для любого натур. n в лин. пространстве R(C) сущ. упорядоченное мн-во сост. из. n линейно незав. в-ров, то лин. пр-во n- бесконечно мерно.

i=1,2,...n

=

2. дистрибутивное св-во.

) Ф-ма в-ого пр-я в декартовой системе координат.

Пусть

= =

×=

=

=

Сл-е 1. Для того, чтобы в-ры и были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы векторное пр-е =0

=0

Сл-е 2.

=

=

3) , , образуют правую тройку векторов, если в-ры не нулевые, если или равны нулю, то считаем, что пр-е -нулевой в-р.

Три вектора лежащие в одной плоскости, наз. компланарными.

Два в-ра линейно зависимых в-ра наз. коллинеарными.

1. =

2. ,,

×=0 ×=0 ×=0

×= ×= -

×= ×= -

×= - ×=

3. = -

4. Векторы и перпендикулюрны прти в кот. лежат и , то они лежат на одной или на параллельных прямых.

14.Плоскость и прямая в R³.

Общим ур-ем плоскости наз. линейное ур-е

Ax + By + Cz +D = 0 (1)

где A²+B²+C²≠0.

Любая пл-ть в пр-ве опр-ся ур-ем вида (1). Если D = 0, то пл-ть проходит через начало координат; если C = 0 (соответственно A=0 или B=0 ), то пл-ть параллельна оси z (соответственно оси x и ли оси y). Уравнение Ax+D=0 определяет пл-ть , параллельную пл-ти yOz.

Положение плоскости P в пр-ве полностью определяется точкой M₀(x₀,y₀,z₀), лежащей на этой пл-ти, и перпендикулярным ей в-ром ={A,B,C} (который называется нормальным вектором пл-ти). При этом ур-е пл-ти имеет вид

A (x – x₀) + B (y – y₀) + C (z – z₀) = 0 (2)

Уравнение пл-ти, проход. через т. M₀(x₀,y₀,z₀) и параллельной двум неколлинеарным в-рам ={A₁,B₁,C₁} и ={A₂,B₂,C₂} , может быть записано в виде (2) , где A, B, C – координаты в-ра = ×.

Ур – е пл-ти, проходящей через 3 данные точки M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃), не лежащие на одной прямой, имеет вид A (x – x₁) + B (y – y₁) + C (z – z₁) = 0, где A, B, C – координаты вектора =× .Это ур-е можно записать с помощью опр-ля:

Взаимное расположение 2х пл-тей.

Угол между двумя плоскостями

A₁ x + B₁ y + C₁ z +D₁ = 0 (плоскость P₁)

A₂ x + B₂ y + C₂ z +D₂ = 0 (плоскость P₂)

равен углу между ин нормальными в-рами и и опр-ся

Если все координаты направляющего вектора не равны нулю, прямая может быть также задана след. каноническими ур-ями:

Углы образуемые прямой соответственно с осями координат Ox,Oy,Oz находятся по формулам

= = =.

Прямая, проходящая через две данные точки M₁(x₁,y₁,z₁), и M₂(x₂,y₂,z₂), представляется ур-ями

Если прямая задана ур-ями (3), т.е. как линия пересечения плоскостей P₁ и P₂ с нормальными векторами =и=, то ее направляющий вектор может быть найден как векторное пр-е в-ров и: =×. Точка М₀ находится как одно из решений системы (3).

Прямая и пл-ть в пр-ве

Угол между пр. с направляющим в-ром и пл-тью : Ax + By + Cz +D = 0 определяется из соотношения

15. Скалярное пр-е в линейномвекторном пр-ве. Неравенство Коши –Буняковского.

в R³

a_i ;b_i- вещественные.

=

= =

Опр. В пр-ве Сⁿскал. пр-ем в-ра на в-р ,где x_i,y_iC

наз. ...........................................(1)

Св-ва.

1) =

2) =

3) =

4) =+

5) =+

6) =

16. Норма в линейном векторном пространстве.

=

Св-ва:

1) Для любого, ;

2)

3)Неравенство Минковского (н-во тругольника)

Норма несвязанная со скал. произв-ем.

Опр. Пусть в пр-ве каждому вектору сопоставлено в соответствии веществ. неотриц. число обознач. оно наз. нормой x если вып аксиома.

17. Матрица Грамма.

Св-ва:

1) ,... - n- мерные векторы из n- мерного пр-ва Эвклидова(вещ. числа)

(Эрметого (компл. числа)), тогда - Эвклидого

-Эрметого

=, где А- размера m×n

2) ,...- базис пр-ва .

18. Ортогональный и ортонормированный базисы Коэффициенты Фурье

Опр. векторы , наз. ортогональными, если =0.Считаем, что,

Т.: любое мн-во ненулевых попарно ортогональных в-ров линейно независимо.

Д-во:,..., , i≠j,

,

Сост. линейную комбинацию векторов

(1)

C_i=0 i=1,2...m

Умножим (1) ,

j=2,.....,m

, т.к. ,то c₁=0

Умножим (1) на скалярно (аналогично).

c₂=0

c₁=c₂=...=c_m=0

,... лин. нез.(по опр.)

Упорядоченный набор из n-векторов попарно ортогональных, не нулевых, явл. ортогон. базисом соотв. пространства.

В любом Эвллидовом пр-ве сущ. ортогональный базис.

С_к – коэффициент Фурье разложения вектора х по ортогональному базису а_к.

Если ,... - ортонормированный базис, то

,...

не нулевые решения

Теорема:

Собственные векторы матрицы, соотв. ее попарно различных собств. числам лин. незав.

Д-во: ,... - лин. зав. собств. в-ры.

(1)

Применем к этому равентву кв. матрицу А.

(2)

Умножим (1) на

(3)

вычтем из (2)-(3)

(4)

(2)

22. Собственные числа и собственные векторы самосопряженной матрицы.

Опр. Кв. мант. Ф наз. самосопр. если

(1)

Если матр вещ. и самрсопряж., то А=А^Т, то такие матрицы на. симметрическими.

Лемма: (2)

Сл. А- самосопр. (Эрмитова)

Все собств. числа сопр. матр.

Теор. , - собственный вектор, ≠0

(3)

≠0

т.к. ≠0

Собств. в. самос. матр. соотв. само собственным числам ортогональны

Неравенство Коши-Буняковского

1) =0

2) ≠0 и

Рассмотрим:

т.к.

Особенности скал. пр-я в Rⁿ

= =

=

=

Условие параллельности прямой и пл-ти: || тогода и только тогда, когда в-ры и перпендикулярны т.е.

Условие перпендикулярности прямой и пл-ти: тогода и только тогда, когда в-ры и параллельны т.е.

(если )

Каноническое уравнение прямой , перпендикулярной плоскости : Ax + By + Cz +D = 0 и проходящей через т. M₀(x₀,y₀,z₀), имеющий вид

(если )

Уравнение пл-ти , проходящей через т. M₀(x₀,y₀,z₀) и перпендикулярной прямой

с направляющим в-ром , записивается так:

Для нахождения координат точки пересечения прямой и прлоскости необходимо решить систему ур-й, состоящую из ур-я пр-мой и ур-я пл-ти.

соотношением

==

Условие параллельности пл-тей: P₁ || P₂ тогда и только тогда,когда коллинеарны нормальные в-ры и, т.е.

(если ,,)

Условие перпендикулярности пл-тей: P₁ P₂ тогда и только тогда,когда , т.е.

Прямая в пр-ве.

Каждая пр. в пр-ве может быть задана системой 2х лин. ур-й

(3)

(эти ур-я опред. две пл-ти ,пересечением кот. служит данная прямая).

Положение прямой полностью опр-ся какой-нибудь ее точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и направляющим вектором, параллельным прямой. При этом прямая задается следующими параметрическими уравнениями:

где параметр принимает любые действенные зн-ия.

Опр. Вектор наз. нормированным, если его норма равна единице

, ,

Св-ва ортогональности векторов сохраняется при их нормированности.

Пусть векторы ,... образуют ортогональный базис в мн-ве , каждый вектор этого пр-ва нормируем. ,...,тогда

,

Упорядоченный набор векторов ,... образуют ортонормированный базис.

Пусть ,... - ортогональный базис в

Матрица Грамма :

для вещ. пр-ва такие матрицы наз. симметрчными

Т.1 Если система векторов явл. бвзисом, тогда detG≠0.

Т.2 Определитель Грамма любого базиса положителен.

Т.3 Если базис ортонормирован, то его матрица Грамма единична

Аксиома:

1)

2)

3)

Сл-е:Если все собств. числа различны для

самосопр. матрицы,то соотв. им собств. векторы ,... попарноортогональны и сл-но образ. в пр-ве ортогон. базис. Этот базис наз. собств. базисом матрицы А.

Теорема:

Любая самосопряженная матр. всегда имеет собств. ортог. базис, т.е. базис сост. из собств. поперноортог. векторов соотв. ее собств. числами.

А: ,...

к=1,2,.......n

k≠j

Если каждый собственный вектор ортонормированный, то получ. собств. ортогон. базис. k=1,..........,n

(5)

Умножим (4) на из (5) вычтем (4)

т.к. все собств. числа ..., - различны, ,

Значит ,... - лин. независимы

21.Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Пусть дана кв. матрица А разм. n×n, будем рассматривать вектор , как матр.

Рассмотрим ,

Опр. Если для кв. матр. А и не нулевого вектора

- собств. число

- собств. вектор

23. Подобные матрицы. Собств. числа с собств. векторы подобных матриц.

Две матрицы одинаковой размерности, на. подобными, если сущ. невырожденной матр. S такая, что В=S^-1АS

~

~ ↔~

Если А подобна В , В подобно С, то А подобно С.

~

Т. Подобные матрицы имеют одинаковый набор собственных чисел

~

Характеристический многочлен

25.Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду

А- симметрическая матрица, А^Т=А (А-веществ)

- квадратичная форма х переменной.

Геометрическая интерпритация:

R³ : n=3 = =

=

Привед-е кв. формы к кв. виду

1) .

2. А – произвольная симметричная матрица

,...- собственный ортонормированный базис матрицы А.

, - собств. числа А

26. Кривые второго порядка.

Приведение прю 2-ого пор. к канонич. виду.

Кривой 2-ого порядка на пл-ти наз. мн-во точек корд. кот.в нек-рой дек. сист. корд. удовл.усл-ю:Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)

Теорема:

Всякая линия 2-ого порядка на пл-ти представл. собой либо эллипс либо гиперболу, либо параболу, либо пару прямых (может быть совпадающих) либо точку, либо пуст мн-во

Рассм ур-е (1)

Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

Квадратичная форма 2х переменных: x и y для матрицы.

Пусть ..., собств. числа матрицы

- собств. в-ры ортонормированного базиса

= =

, =+

(2)

в ур-е (1) проведем замену переменных по формулам (2)

27. Пов-ти 2ого порядка.

Пов-тями 2ого пор. наз. такие мн-ва точек в пр-ве, координаты которых удовлетворяют уравнению вида

Ax²+By²++Cz²+Dxy+Eyz+Fzx+ Gx +Hy +Kz+ L=0 (4)

Например, ур-е x²+y²+z²=R²

определяет сферу радиуса R с центром в начале координат.

28.Псевдорешение системы лин. ур-й.

(1)

Теорема. Для любой матрицы А размера (m×n) существуют унитарные матрицы U порядка m, V прядка n такие, что ,

где (5)

>0- сингулярные числа матрицы А (,,......, - ненулевые собственные числа матрицы А*А (ФФ*)).

Из (5) следует, что

Такое представление матрицы А называют ее сингулярным разложением.

С учетом (6) система (1) может быть записана в виде

или

(7)

Пусть сист. (7) принимает вид

,

(12)

i=1,2,...,к (11)

Ии этот минимум равен

Если k<n, то не опред. из (11) и не влияют на норму невязки. Вэтом случае псевдорешение не единственно.

Обычно полагают, и тогда вектор

называют нормальным псевдорешением системы (9). Из первого ур-я (8) находим

Если - псевдорешение (нормальное псевдорешение) системы(9), то вычисленный по(13), дает псевдорешение (нормальное псевдорешение) системы (1).

Введем векторы

и матрицу

Система (15) теперь записывается в виде

В больш. задач m<n, т.е. в сист. (16) число уравнений большн числа неизвестных(система переопределенная). Найти ее «точное» решение малоперспективно. Поэтому в-р , т.е. коэффиц. в (14), ищется как псевдорешение системы(16), т.е. минимизируется

С учетом вышеизложенного, если ,то явл. ркшением сист.

Рассмотрим еще один вариант решения данной задачи.

Опр. Ф-и наз. попарно ортогональными на сетке ,..., если векторы(ненулевые)

Возможны 3 случая.

1) >0, >0 – эллипс

2) >0 (противопол. знака) – гипербола

3) =0 – порабола

- пара пересек. пр-мых.

- совпадю пр-е

- точка

Сост унит. матр.

,...

кв. ф. - канонический вид

Классификация кв. форм

1. если все собств. чиса симметр. матр.А полож (отриц) ,то мптр. а и квадр. форма наз. полож. (отриц) определенными, за исключением нулевого век-ро на кот.она =0.

2. Если все соб. числи а не полож. (не отриц.0 и ее кв. форма наз. не положит. (не отриц)

3. Если среди соб. чисел симметр. матр А есть как положит. так и отриц. числа,то А и ее кв. форма наз. знакопеременной.

24.Унитарные матрицы. Приведение к диагональному виду.

Опр. Кв. матр. Т над. унит. если Т*Т^Т=I вещ. унит. матр. наз. ортогон. Т*=Т^Т Т^ТТ=I

Это означает, что Т- невырожденная.

У матр. Т сущ обр. Т^-1

Т*=Т^-1 пусть

Умножим Т на Т

ш=1б2юююююююют ш≠л

Унитарная матр. это кв. матр. у кот. столбцы явл. Ортонорм. Вект.

по опр. Под. Матр.

29. МНК

Пусть результатом эксперимента служит набор значений неизвестной вообще говоря функции в n точках (на сетке ,... ):

Ставится задача: найти функцию в виде линейной комбинации известных функций некоторого класса , т.е.

(14)

Подставляя в (14) x=x_i, i=1,2,...,n, получим систему n уравнений с m неизвестными :

Тогда система (7) принимает вид

Покажем, что , т.е. минимизация нормы невязки в исходной системе (1)

Действительно,

Система (9) с учетом вида матрицы имеет вид:

(10)

При этом

Ясно, что минимум квадрата нормы невязки достигается при

i= 1,2,///,n

попарно ортогональны, т.е. =0 при i≠j

В этом случае

[,....,]=

=,

и, сл-но, решение системы (17) имеет вид

i=1,2,..,n