Условная вероятность

1. Как определяется условная вероятность?

Является функцией события В и определяется по формуле

2. Доказать, что условная вероятность неотрицательная.

P(A|B)>=0 – 1я аксиома Коломогорова

3. Сформулировать и доказать свойство нормированности условной вероятности.

4. Сформулировать и доказать свойство аддитивности условной вероятности.

5. Чему равна условная вероятность для несовместных событий? Обосновать ответ.

6. Как изменяется вероятностное пространство при введении условной вероятности?

Условная вероятность сужает вероятностное пространство

7. Чему равна вероятность произведения двух событий?

P(A|B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)

8. Привести формулу умножения вероятностей для произвольного числа событий.

P(A₁…A_n)=P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)…A_n/A1A₂…A_n-1)

9. Привести условие независимости двух событий.

Если P(A|B)=P(A), если B Ω

10. Дать определение независимости произвольного числа событий.

Если для любого P(A_i1,A_i2,A_i3…Aik)=P(A_i1)P(A_i2)…P(A_ik)

11. Привести формулу сложения вероятностей для двух независимых событий.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

12. Являются ли два несовместных события независимыми? Обосновать ответ.

Зависимые. Пускай A и B – несовместные. AB=¢, P(AB)=0 P(AB) P(A)P(B)

13. Привести формулу полной вероятности.

14. Привести формулу Байеса.

Независимые испытания

1. Что такое схема Бернулли?

Схемой Бернулли называется последовательность n-независимых испытаний,в каждом из которых вероятность событий A остается неизменной.

2. П ривести пример последовательности испытаний, описываемых схемой Бернулли.

А={извлекаем Б}

3. Какая основная задача решается при рассмотрении схемы Бернулли?

Осн задачей,которая решается с помощью схемы Бернулли является нахождение вероятности K успехов в n испытаниях. K=0,n

4. Как описывается элементарное событие в схеме Бернулли?

5. Чему равна вероятность элементарного события в схеме Бернулли? Обосновать ответ.

6. Записать формулу Бернулли.

P_k(k)=C_n^kp^kq^n-k

7. Какое значение может принимать число успехов в схеме Бернулли?

Число успехов – k₀ P_n(k₀)=max np-q<=k₀<=np+p

8. Что такое наиболее вероятное число в схеме Бернулли? 1 ответ для 8 и 9

9. Как найти наиболее вероятное число в схеме Бернулли?

10. Сколько значений может принимать наиболее вероятное число в схеме Бернулли? Обосновать ответ.

Наиболее вероятное число успехов в схеме Бернулли k₀

P_n(k)=max

np-q <= K₀ <= np+p

Если правые и левые части целые числа,то K₀ принимает одно значение.

Если не целые – 2 значения.

11. Как найти минимальное число испытаний в схеме Бернулли, при котором успех осуществляется хотя бы один раз с заданной вероятностью?

1-qⁿ>=p_o

1-p_o>=qⁿ

1-p_o>=(1-p)ⁿ

Ln(1-p_o)>=n ln(1-p)

n>=ln(1-p_o)/ln(1-p)

12. Чему равна вероятность того, что успех в схеме Бернулли осуществится хотя бы один раз? Обосновать ответ.

P_n(1<=k<=n)=1-P_n(0)=1-C_n⁰p⁰qⁿ=1-qⁿ

13. Как определяется полиномиальная схема?

A₁,A₂,…A_s P(A₁)=p₁, p(A₂)=p₂…p(A_s)=p_s

14. Привести примеры последовательности испытаний, описываемых полиномиальной схемой.

15. Как описывается элементарное событие в полиномиальной схеме?

w _i= A₁A₁…A₁ A₂A₂…A₂ A_SA_S…A_S ,

K₁ K₂ K_S

16. Чему равна вероятность элементарного события в полиномиальной схеме?

P(w_i)=P(A₁A₁…A₁A₂A₂…A₂…A_sA_s…A_s)=P(A₁)…P(A₁)…P(A_s)…P(A_s)=P₁^kP₂^k…P_s^ks

17. Записать полиномиальную формулу.

Полиномиальная формула

Ф-ла называется полиномиальной, где суммирование выполняется по всем решениям уравнения n₁+n₂+ …+ n_k = n в целых неотрицательных числах, n_i 0, I =1,2,…,k.

Случайная величина

1. Дать определение случайной величины.

P = N(A) / (N)

Чачто случайной челичиной «пси» называют такую величину,значение которой заранее известно.

Пусть имеется вероятностное пространство {Ω ; F; P }. Случайной величиной, заданной на вероятном пространстве, называется действительная ф-я пси = пси (W) с областью определения Ω и областью значений R=( -inf ; +inf )

При этом определении для всех x € (-inf ; +inf) должно выполнятся условие A = { пси < x } < F

Случайная величина – измеримая функция событий.