Приложение б
Решение уравнения Лапласа
В выбранной нами, для удобства, цилиндрической системе координат уравнение Лапласа можно представить в виде [2]
(Б1.1)
Условия симметрии тела облегчает решение задачи. Если мысленно рассечь поле плоскостью, перпендикулярной оси Z и провести в этой плоскости окружность так, чтобы центр ее лежал на оси Z (рисунок 1.1), то окажется , что все точки этой окружности находятся в одинаковых условиях. Поэтому их потенциал один и тот же и выражение (Б1.1), можно переписать, опустив третье слагаемое, так как для всех точек, обладающих r=const потенциал не будет зависеть от z. Таким образом поле будет описываться уравнением:
(Б1.2)
Выражение (Б1.2) представляет собой уравнение в частных производных. Для интегрирования подобного рода уравнений применяется метод Фурье, согласно которому искомую функцию представляют в виде произведения функций:
(Б1.3)
Функция М зависит
только от r, а
N - только
от
,
обе они подлежат определению.
Определение функции в виде произведения удобно тем, что позволяет разбить уравнение в частных производных (Б1.1) на два обыкновенных дифференциальных уравнения, одно из которых будет составлено относительно М, а другое – относительно N.
Подставив (Б1.3) в (Б1.2):
(Б1.4)
Почленно разделив (Б1.4) на произведение M∙N, преобразуем это уравнение таким образом, чтобы в одной части уравнения была функция только от r, а в другой – только от α
(Б1.5)
Так как левая и правая части уравнения (Б1.5) зависят от различных переменных, то они должны быть равны некоторой постоянной, например «р» (постоянной разделения). В результате получаем два дифференциальных уравнения:
(Б1.6)
(Б1.7)
Значение р определим из (Б1.7). Решение можно записать в виде:
(Б1.8)
тогда
(Б1.9)
Подставляя (Б1.8) и (Б1.9) в уравнение (Б1.7) получим:
-1=-p, p=1
Приравниваем уравнение (Б1.6) к численному значению р и находим М:
(Б1.10)
Разделим обе части уравнения (Б1.10) на r/M, получим:
(Б1.11)
В результате:
(Б1.12)
Найдем решение уравнения (Б1.7) приравняв его к численному значению р:
(Б1.13)
Решая (Б1.13) относительно N, получаем:
(Б1.14)
Так ка потенциал
является четной функцией относительно
α, т.е.
,
то С4=0:
(Б1.15)
Подставляя (Б1.11) и (Б1.15) в соотношение (Б1.3) получим решение уравнения:
(Б1.16)
Полное решение (Б1.16) имеет вид:
для внутренней области
(Б1.17)
для внешней области
(Б1.18)
Приложение в
Программа для расчета эпюр электромагнитных полей
#include<dir.h>
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#include<graphics.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
const int N = 1000; // array variable
float E0 = 5, a = 0.0072, b = 0.0034, l = 0.013, ze = 276.8 , L = 0.0125 ,Kp = 0.502;
int m=1, n=5;
float kf1 , kf2;
float Hx(float x, float y)
{ return -kf1/ze * sin(m*M_PI*x/a)*cos(n*M_PI*y/b); }
float Hy(float x, float y)
{ return kf2/ze * cos(m*M_PI*x/a)*sin(n*M_PI*y/b); }
float Ex(float x, float y)
{ return E0*kf1 * cos(m*M_PI*x/a)*sin(n*M_PI*y/b); }
float Ey(float x, float y)
{ return E0*kf2 * sin(m*M_PI*x/a)*cos(n*M_PI*y/b); }
float F(float z)
{ return cos(-Kp*z); }
void main()
{ kf1 = E0*(m*n/L)*(a*b*b)/(m*m*b*b+n*n*a*a);
kf2 = E0*(m/L)*(a*a*b)/(m*m*b*b+n*n*a*a);
Kp = 2*M_PI/L;
float x, y, z, E_x, E_y, H_x, H_y, H_z;
mkdir("c:\\data_tp");
FILE *out;
out = fopen("c:\\data_tp\\file1.dat","wt");
x = 0;
do
{
E_x = Ex(x,b/8); E_y = Ey(x,0); H_x = Hx(x,0); H_y = Hy(x,b/8);
fprintf(out,"%f %f %f %f %f \n",x, E_x, E_y, H_x, H_y);
x += 1e-5;
} while (x < a);
fclose(out);
y = 0;
out = fopen("c:\\data_tp\\file2.dat","wt");
do
{
E_x = Ex(0,y); E_y = Ey(a/2,y); H_x = Hx(a/2,y); H_y = Hy(0,y);
fprintf(out,"%f %f %f %f %f \n",y, E_x, E_y, H_x, H_y);
y += 1e-5;
} while (y < b);
fclose(out);
z = 0;
out = fopen("c:\\data_tp\\file3.dat","wt");
do
{
E_x = -ze*kf2*F(z); E_y = -ze*kf1*F(z); H_x = kf1*F(z); H_y =kf2*F(z);
H_z = E0*sin(-Kp*z);
fprintf(out,"%f %f %f %f %f %f\n",z, E_x, E_y, H_x, H_y, H_z);
z += 1e-4;
} while (z < 0.1);
fclose(out);
float Lkp = 0.002239;
float vgr, vfz, cn = 0;
out = fopen("c:\\data_tp\\file4.dat","wt");
do
{
L = cn/( sqrt(3-(cn/Lkp)*(cn/Lkp)));
ze = 217.6*cn/L;
fprintf(out,"%f %f %f \n",cn, L, ze);
cn += 1e-6;
} while (cn < Lkp-3e-5);
fclose(out);
}
