2.Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе.

Общее задание.

Для заданного типа волны с начальной амплитудой поля =5кВ/см, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением получить аналитические выражения продольной и поперечных компонент полей в комплексной форме записи и для мгновенных значений. Для численных параметров задачи построить эпюры полей по осям X, Y, Z, а также картину распределения полей в плоскостях XY и XZ. Рассчитать заданные характеристики полей и построить их зависимости от частоты.Во всех случаях считаем , что параметр =1

Параметры задачи

Волна Е₁₅, a x b = 72 x 34 мм;  = 13 мм, диэлектрическая проницаемость  =2. Расcчитать длину волны в волноводе и эквивалентное сопротивление волновода.

Решение

Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода рассматриваем, полагая, что стенки волновода выполнены из сверхпроводящего материала (  =  ). При этом условии напряженность электрического поля на стенках волновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода  = E есть величина конечная).[2]

Эскиз исследуемого волновода приведён на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Эскиз исследуемого волновода

Полость волновода заполнена диэлектриком, электрическая проницаемость которого . Длина волновода в направлении оси z не ограничена.

Для заданного типа волны выполняется условие[3] : E_z 0 ; H_z=0; m=1; n=5.

В соответствии с этим волновое уравнение для продольных компонент поля будет иметь вид[1,2]

(2.1)

где – круговая частота, – абсолютные электрическая и магнитная проницаемости.

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода ( вдоль оси z ) и стоячими в двух остальных направлениях [2]. Стоячие волны в направлениях x и y образуются вследствие многократных отражений волн от стенок волновода.

Структура E-волн такова, что составляющую вдоль оси волновода имеет только напряженность электрического поля, а напряженность магнитного поля расположена в плоскостях, перпендикулярных оси волновода [2]. Другими словами, для E-волны

(2.2)

Если подставить (2.2) в уравнение (2.1), то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь следующее уравнение:

(2.3)

Упростим уравнение (2.3) путем подстановки решения вида

(2.4)

справедливого для гармонических процессов в волноводах [2]

– продольный коэффициент распространения в волноводе, – длины волны в волноводе.

Множитель выражает собой то обстоятельство, что вдоль оси z движется бегущая волна.

Подставляем (2.4) в (2.3):

(2.3)

Обозначим

. (2.5)

и поделим (2.3) на . Получаем

(2.6)

Воспользуемся методом разделения переменных и искомую функцию представим в виде

(2.7)

и подставим в (2.6) , получаем:

Разделяя это уравнение на XY получим:

Сумма двух функций и , из которых одна является функцией только x, а другая – функцией только y, может равняться постоянному числу – только в том случае, если каждая из этих функций есть постоянное число. Перейдем от частных производных к простым и положим

(2.6а)

(2.6б)

Здесь p, q есть некоторые постоянные числа. Решением двух последних уравнений являются функции

Здесь есть постоянные интегрирования, которые найдем из граничных условий. Таким образом, в соответствии с (2.4),

(2.7)

Здесь комплексная амплитуда

Для определения значений p, q, , ψ обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записанным через проекции напряженностей на оси координат:

(2.8) (2.11)

(2.9) (2.12)

(2.10) (2.13)

В силу того, что для E-волны , то уравнения (2.8), (2.9), (2.13) можно упростить, убрав выражения, содержащие .

Как уже говорилось выше, на внутренних поверхностях стенок волновода напряженность электрического поля равна нулю. Следовательно, Если это учесть, то из уравнения (2.7) получим:

Так как по формулам приведения , то мы получим следующее выражение:

(2.14)

где m и n - целые числа; m - равно числу полуволн электромагнитной волны, которое разместиться по ширине волновода. Число n показывает, сколько полуволн разместится по высоте волновода.

Найдем теперь Для определения поступим следующим образом: из уравнения (2.8) выраз им и подставим в уравнение (2.12). Тогда получим

Отсюда

(2.15)

Аналогично

(2.16)

(2.17)

(2.18)

Проанализируем полученные результаты. Коэффициент играет роль постоянной распространения электромагнитной волны вдоль оси z. Если будет действительным числом, то волна при своем продвижении по волноводу будет затухать. Затухание будет отсутствовать, если будет мнимым числом.

Для того, чтобы связать с геометрическими размерами волновода a и b и числами m и n, подставим (2.14) в (2.3). Получим . Но . Поэтому, .

является мнимым числом при

Таким образом, по волноводу с заданными размерами a и b могут распространяться электромагнитные волны, если частота волны больше .

Для мгновенных значений компонент полей, получаем

Преобразуем полученные выражения, записав k_p как функцию , а k₁ как функцию а, b:

Для восстановления действительных значений необходимо компоненты полей домножить на опущенный ранее волновой множитель , перейти по формуле Эйлера к тригонометрической форме записи и взять действительную часть полученного выражения. В результате получаем:

Продольный коэффициент распространения будет равен [4]:

где  - длина волны в волноводе, которая равна

В свою очередь связана с геометрическими размерами волновода как (мм).

Таким образом : (мм)

k_p=2/;

k_p=2 ^.3,14/12,52=0,501 (мм^-1)

Одной из особенностей E-волн является то, что отношение поперечных составляющих электрического и магнитного полей не зависит от координат. Это отношение называется эквивалентным сопротивлением волновода, причем

Эпюры полей по осям и текст работы программы приводится в приложении В.