1.2 Поперечно-электрические поля

Чтобы определить типы электромагнитных волн в прямоугольном волноводе и проанализировать структуру электромагнитных полей, необходимо решить уравнение (15) при общих граничных условиях (3). Применительно к поперечно-электрическому полю ( или ) граничные условия имеют вид

при ; ;

при ; . (21)

Используя выражения (17), при условии (21) получаем

при ; ;

при ; . (22)

Напомним, что для (или ) поля .

Решение волнового уравнения (15) осуществляется методом разделения переменных. Будем искать решение в виде

, (23)

где и - функции, зависящие только от и соответственно. Подставляя последние выражения в уравнение (15), получим,

,

откуда следует, что

и ; (24)

,

где и - произвольные постоянные разделения.

Как известно, общее решение уравнений (24), можно представить следующим образом:

,

.

Следовательно, в соответствии с (23) проекция будет равна

, (25)

причем постоянная распространения в соответствии с (12) и (24) определяется как

.

Чтобы найти входящие в выражение для неизвестные величины, воспользуемся граничными условиями (22). Из первого условия вытекает, что

; ; ; .

Из второго условия получается:

; ; ; .

Таким образом,

, (26)

, (27)

. (28)

Здесь введено обозначение .

Подставив значение в равенства (17) и (18), получим выражения для комплексных амплитуд остальных составляющих векторов электромагнитного поля в прямоугольном волноводе для поперечно-электрических волн , , и .

Отметим, что при волны в волноводе существовать не могут, так как в этом случае все компоненты поля, за исключением , обращаются в нуль. Из этого следует, что числа и могут принимать любые значения, равные 0,1,2,3,..., но не могут быть одновременно равными нулю.

Следовательно, в прямоугольном волноводе могут существовать бесчисленное множество типов поперечно-электрических волн, определяемых значениями чисел и . Эти волны обозначаются символами (или ). В общем случае компоненты поля записываются в виде суммы различных типов волн по индексам и .

Вдоль сторон и поперечного сечения волновода распределение поля имеет характер стоячей волны, причем величина определяет число полуволн стоячей волны, укладывающихся вдоль оси на интервале , а - число полуволн стоячей волны вдоль оси на интервале .

Поле будет распространяться вдоль оси в виде бегущей волны, если постоянная распространения равна чисто мнимой величине

, (29)

где - фазовая постоянная (продольное волновое число волновода).

В противном случае поле в волноводе быстро уменьшается с расстоянием вследствие экспоненциального множителя .

Из выражений (27) и (29) следует, что

. (30)

С учетом сказанного продольная составляющая магнитного поля (28) примет вид

. (31)

Из равенства (30) следует, что в прямоугольном волноводе поперечно-электрическая волна ( ) при данных размерах и будет незатухающей, если

.

Отсюда следует неравенство

,

или

.

Величина

(32)

имеет размерность и носит название критической частоты волновода.

Критической частоте соответствует критическая длина волны, которая определяется формулой

, (33)

Таким образом, условие распространения волны по волноводу имеет вид

или . (34)

Фазовая скорость волны определяется по формуле

, (35)

а скорость переноса энергии равна

. (36)

Длина волны в волноводе определяется выражением

. (37)

Из выражения (37) для длины волны в волноводе следует, что она отличается от длины волны в свободном пространстве и от длины волны в среде, заполняющей волновод.

Из выражения для фазовой скорости (35) видно, что волновод является дисперсной средой, так как фазовая скорость, а, следовательно, и скорость переноса энергии, зависит от частоты колебаний источника радиоволн.

При решении задач теории волноводов, кроме понятия волнового сопротивления среды , заполняющей волновод, пользуются понятием характеристического сопротивления волновода . Характеристическое сопротивление в случае волн определяется в виде

. (38)

Из выражения (32) следует, что при одинаковых размерах поперечного сечения волновода критическая частота растет с увеличением и , т.е. высшие типы поперечно-электрических волк (с большими значениями и ) имеют более высокие критические частоты по сравнению с низшими типами. Следовательно, для передачи электромагнитной энергии при заданной частоте источника колебаний по волноводу с наименьшими поперечными размерами необходимо возбуждать в нем волну с наименьшими значениями и . При размере большем это будет волна (или ). Этот тип волны, называемый основным типом волны в прямоугольном волноводе, находит наибольшее применение на практике.

Мощность, передаваемая через поперечное сечение волновода волной по определению равна

, (39)

где - поперечное сечение волновода;

- продольная составляющая вектора Пойнтинга [1,2].

Для прямоугольного волновода эта величина равна , следовательно (приложение А)

, (40)

где и - величины, комплексно-сопряженные составляющим и соответственно.

Следует отметить, что правая часть выражения (39) справедлива лишь для волновода прямоугольного сечения.